Image réciproque et intersection

Soit $x\in E$. On enchaîne des équivalences, ce qui démontre la double inclusion d'un seul mouvement : $$x\in f^{-1}(A\cap B)⟺f(x)\in A\cap B⟺(f(x)\in A\text{ et }f(x)\in B)⟺(x\in f^{-1}(A)\text{ et }x\in f^{-1}(B))⟺x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).$$

D'où l'égalité $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.

À retenir : l'image réciproque respecte toutes les opérations ensemblistes. Le même enchaînement d'équivalences donne $$f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B),f^{-1}\left(A^c\right)={\left(f^{-1}(A)\right)}^c.$$

L'image directe, elle, ne les respecte pas : on a seulement $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$, et l'inclusion peut être stricte. Avec $f(x)=x^2$, $A=\{-1\}$ et $B=\{1\}$ : $A\cap B=\varnothing$ donc $f(A\cap B)=\varnothing$, alors que $f(A)\cap f(B)=\{1\}$. La raison tient en un mot : dans le sens direct, deux antécédents distincts peuvent donner la même image, tandis que l'image réciproque, elle, lit une condition sur $f(x)$ point par point.