Montrer que f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) pour toutes parties A, B de E, puis…

1) L'inclusion $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. Soit $y\in f(A\cap B)$ : il existe $x\in A\cap B$ tel que $y=f(x)$. Comme $x\in A$, on a $y\in f(A)$ ; comme $x\in B$, on a $y\in f(B)$. Donc $y\in f(A)\cap f(B)$.

Cette inclusion est vraie pour toute application, sans hypothèse.

2) L'inclusion réciproque est fausse en général. Prenons $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, avec $A=\{-1\}$ et $B=\{1\}$. Alors $A\cap B=\varnothing$ donc $f(A\cap B)=\varnothing$, tandis que $f(A)=f(B)=\{1\}$, d'où $f(A)\cap f(B)=\{1\}$.

Ce qui manque saute aux yeux : $1$ a deux antécédents, l'un dans $A$, l'autre dans $B$, et aucun des deux n'est dans $A\cap B$. C'est un défaut d'injectivité, et c'est le seul.

3) L'égalité pour toutes parties $⟺$ $f$ est injective.

Sens direct ($\Leftarrow$). Supposons $f$ injective et soient $A,B\subset E$. Compte tenu du 1), il suffit de montrer $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)$. Soit $y\in f(A)\cap f(B)$ : il existe $a\in A$ et $b\in B$ tels que $y=f(a)=f(b)$. L'injectivité donne $a=b$, donc cet élément appartient à $A\cap B$, et $y=f(a)\in f(A\cap B)$.

Sens réciproque ($\Rightarrow$). Supposons l'égalité vraie pour toutes parties $A,B$, et soient $x,y\in E$ tels que $f(x)=f(y)$. Appliquons l'hypothèse aux singletons $A=\{x\}$ et $B=\{y\}$ : $$f(\{x\}\cap \{y\})=f(\{x\})\cap f(\{y\})=\{f(x)\}\cap \{f(y)\}=\{f(x)\}\ne \varnothing$$ Donc $f(\{x\}\cap \{y\})\ne \varnothing$, ce qui impose $\{x\}\cap \{y\}\ne \varnothing$, c'est-à-dire $x=y$. Ainsi $f$ est injective. $■$

Pourquoi les singletons. L'hypothèse est un énoncé universel : elle vaut pour toutes les parties, et l'on est donc libre de choisir les plus contraignantes. Les singletons sont les plus petites parties non vides ; ce sont elles qui transforment une égalité d'images en une égalité de points. C'est un réflexe à garder : pour exploiter une propriété vraie « pour toute partie », essayer d'abord $\{x\}$, puis $E$ tout entier.

Le tableau d'ensemble. Trois inclusions du chapitre mesurent chacune exactement un défaut de $f$ :

Inclusion, toujours vraie	Égalité pour toutes parties $⟺$
$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$	$f$ injective
$A\subset f^{-1}(f(A))$	$f$ injective
$f(f^{-1}(B))\subset B$	$f$ surjective

L'image réciproque, elle, respecte toutes les opérations sans aucune hypothèse : $f^{-1}$ commute avec $\cap$, $\cup$ et le passage au complémentaire. C'est l'image directe, et elle seule, qui est fragile.