Image de $g\circ f$ lorsque $f\circ g=Id$

Montrons l'égalité par double inclusion :

• Inclusion $(g\circ f)(E)\subset g(F)$ : Soit $x\in (g\circ f)(E)$. Il existe $t\in E$ tel que $x=(g\circ f)(t)=g(f(t))$. Puisque $f(t)\in F$, on a bien $x=g(f(t))\in g(F)$. D'où $(g\circ f)(E)\subset g(F)$.

• Inclusion $g(F)\subset (g\circ f)(E)$ : Soit $y\in g(F)$. Il existe $z\in F$ tel que $y=g(z)$. Puisque $f\circ g={\mathrm{Id}}_F$, on a $f(g(z))=z$, ce qui s'écrit $f(y)=z$. On en déduit que : $$y=g(z)=g(f(y))=(g\circ f)(y)$$ Puisque $y\in g(F)\subset E$, on a bien $y\in (g\circ f)(E)$. D'où $g(F)\subset (g\circ f)(E)$.

L'égalité est donc établie.