Soit n ≥ 1. Sur ℤ, on pose a ≡ b [n] ⟺ n divise b - a. Montrer que…

1) $\equiv [n]$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{Z}$.

• Réflexivité. Pour $a\in \mathbb{Z}$, $a-a=0=n\times 0$, donc $n\mid a-a$ et $a\equiv a[n]$.
• Symétrie. Si $a\equiv b[n]$, il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b-a=kn$. Alors $a-b=(-k)n$ avec $-k\in \mathbb{Z}$, donc $b\equiv a[n]$.
• Transitivité. Si $a\equiv b[n]$ et $b\equiv c[n]$, écrivons $b-a=kn$ et $c-b=k^{\prime }n$. En additionnant, $c-a=(k+k^{\prime })n$, donc $a\equiv c[n]$.

La relation est donc une relation d'équivalence. $■$

2) $\mathbb{Z}$ se partitionne en exactement $n$ classes.

Le cours affirme qu'une relation d'équivalence partitionne l'ensemble en ses classes ; il reste à compter ces classes, et c'est la division euclidienne qui les fournit.

Toute classe rencontre $\{0,1,\dots ,n-1\}$. Soit $a\in \mathbb{Z}$. La division euclidienne de $a$ par $n$ s'écrit $a=qn+r$ avec $q\in \mathbb{Z}$ et $0\le r\le n-1$. Alors $a-r=qn$, donc $a\equiv r[n]$ et $$\mathrm{cl}(a)=\mathrm{cl}(r),r\in \{0,1,\dots ,n-1\}$$ Il y a donc au plus $n$ classes, à savoir $\mathrm{cl}(0),\mathrm{cl}(1),\dots ,\mathrm{cl}(n-1)$, et leur réunion est $\mathbb{Z}$ tout entier.

Ces $n$ classes sont deux à deux distinctes. Soient $r,r^{\prime }$ avec $0\le r<r^{\prime }\le n-1$ et supposons $\mathrm{cl}(r)=\mathrm{cl}(r^{\prime })$. Alors $n\mid r^{\prime }-r$. Or $$0<r^{\prime }-r\le n-1<n$$ et aucun multiple non nul de $n$ ne se glisse strictement entre $0$ et $n$ : contradiction. Donc $\mathrm{cl}(r)\ne \mathrm{cl}(r^{\prime })$.

Deux classes d'équivalence étant égales ou disjointes, les $n$ classes $\mathrm{cl}(0),\dots ,\mathrm{cl}(n-1)$ sont deux à deux disjointes, non vides, et de réunion $\mathbb{Z}$ : elles forment une partition de $\mathbb{Z}$ en exactement $n$ classes. $■$

Lecture. La classe de $r$ est l'ensemble $\{r+kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$ : les entiers de même reste dans la division par $n$. Le quotient se note $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et l'on vient de montrer qu'il a $n$ éléments.

Le nombre de classes est le nombre de restes possibles : c'est la division euclidienne, et elle seule, qui rend la partition explicite. On retrouvera cette construction toute l'année — en arithmétique bien sûr, mais aussi dès qu'un ensemble sera quotienté par une relation d'équivalence.