Égalité de trois parties par recoupement

Soit $x\in X^{\prime }$. Montrons que $x\in X$. Puisque $X\cup Y\cup Z=E$, on a $x\in X\cup Y\cup Z$.

• Si $x\in X$, la condition est vérifiée.
• Si $x\in Y$, alors comme $X\subset X^{\prime }$ et $Y\subset Y^{\prime }$, on a $x\in X^{\prime }\cap Y^{\prime }$. Or par hypothèse $X^{\prime }\cap Y^{\prime }=X\cap Y$. Donc $x\in X\cap Y\subset X$.
• Si $x\in Z$, de même $x\in X^{\prime }\cap Z^{\prime }=X\cap Z\subset X$.

Dans tous les cas, $x\in X$, d'où $X^{\prime }\subset X$. Comme on a déjà $X\subset X^{\prime }$ par hypothèse, on en déduit $X=X^{\prime }$.

Par symétrie des rôles joués par $X,Y,Z$ et $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ dans les hypothèses, on obtient de la même manière $Y=Y^{\prime }$ et $Z=Z^{\prime }$.