Égalité de trois parties par recoupement

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles

Énoncé

Soient $E$ un ensemble, $X, Y, Z, X^{'}, Y^{'}, Z^{'} \in P (E)$ . On suppose : $⎩ ⎨ ⎧ X \cup Y \cup Z = E X \cap Y = X^{'} \cap Y^{'}, X \cap Z = X^{'} \cap Z^{'}, Y \cap Z = Y^{'} \cap Z^{'} X \subset X^{'}, Y \subset Y^{'}, Z \subset Z^{'}$ Établir : $X = X^{'}, Y = Y^{'}, Z = Z^{'}$ .

Corrigé

Soit $x \in X^{'}$ . Montrons que $x \in X$ . Puisque $X \cup Y \cup Z = E$ , on a $x \in X \cup Y \cup Z$ .

Si $x \in X$ , la condition est vérifiée.
Si $x \in Y$ , alors comme $X \subset X^{'}$ et $Y \subset Y^{'}$ , on a $x \in X^{'} \cap Y^{'}$ . Or par hypothèse $X^{'} \cap Y^{'} = X \cap Y$ . Donc $x \in X \cap Y \subset X$ .
Si $x \in Z$ , de même $x \in X^{'} \cap Z^{'} = X \cap Z \subset X$ .

Dans tous les cas, $x \in X$ , d'où $X^{'} \subset X$ . Comme on a déjà $X \subset X^{'}$ par hypothèse, on en déduit $X = X^{'}$ .

Par symétrie des rôles joués par $X, Y, Z$ et $X^{'}, Y^{'}, Z^{'}$ dans les hypothèses, on obtient de la même manière $Y = Y^{'}$ et $Z = Z^{'}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.