Problème — Point fixe dans $\mathcal{P}(E)$ et théorème de Cantor–Bernstein

1) $\mathcal{A}$ est non vide, et $M\subset \Phi (M)$. La partie vide vérifie $\varnothing \subset \Phi (\varnothing )$, quelle que soit la valeur de $\Phi (\varnothing )$ : donc $\varnothing \in \mathcal{A}$, et $\mathcal{A}\ne \varnothing$.

Soit $X\in \mathcal{A}$. Comme $X$ est l'un des ensembles dont $M$ est la réunion, $X\subset M$. Par croissance de $\Phi$, $\Phi (X)\subset \Phi (M)$. Et comme $X\in \mathcal{A}$, $X\subset \Phi (X)$. En enchaînant : $X\subset \Phi (X)\subset \Phi (M)$. Ceci vaut pour tout $X\in \mathcal{A}$ ; la réunion de tous ces $X$, qui est $M$, est donc incluse dans $\Phi (M)$ : $M\subset \Phi (M)$.

2) $M$ est un point fixe. On vient d'obtenir $M\subset \Phi (M)$. Appliquons $\Phi$, qui est croissante : $\Phi (M)\subset \Phi (\Phi (M))$. C'est exactement dire que la partie $\Phi (M)$ vérifie la condition d'appartenance à $\mathcal{A}$ : $\Phi (M)\in \mathcal{A}$. Mais tout élément de $\mathcal{A}$ est inclus dans $M$, par définition de la réunion : $\Phi (M)\subset M$. Avec le 1), $\Phi (M)=M$.

Le point délicat. Le raisonnement tourne deux fois la même manivelle : « $M\subset \Phi (M)$ » est obtenu en majorant chaque morceau de $M$, puis réinjecté dans $\Phi$ pour obtenir l'inclusion inverse. On n'a utilisé de $\Phi$ que sa croissance — aucune formule.

3) $M$ contient tout point fixe. Si $\Phi (X)=X$, alors en particulier $X\subset \Phi (X)$, donc $X\in \mathcal{A}$, donc $X\subset M$. Ainsi $M$ est le plus grand des points fixes de $\Phi$, au sens de l'inclusion.

4) $\Phi$ est croissante. Soient $X\subset Y$ deux parties de $E$. On suit les inclusions étape par étape, en prenant garde que chaque passage au complémentaire les renverse :

• $X\subset Y$ donne $f(X)\subset f(Y)$ (l'image directe est croissante) ;
• donc $F\setminus f(Y)\subset F\setminus f(X)$ (renversement) ;
• donc $g(F\setminus f(Y))\subset g(F\setminus f(X))$ (croissance de l'image directe) ;
• donc $E\setminus g(F\setminus f(X))\subset E\setminus g(F\setminus f(Y))$ (renversement), c'est-à-dire $\Phi (X)\subset \Phi (Y)$. Deux renversements font une croissance : $\Phi$ est croissante. Elle admet donc un point fixe, d'après le 2).

5) Ce que le point fixe découpe. Soit $M$ avec $\Phi (M)=M$, c'est-à-dire $M=E\setminus g(F\setminus f(M))$. Prendre le complémentaire dans $E$ des deux membres donne $$E\setminus M=g(F\setminus f(M)).$$ Ainsi $g$ envoie la partie $F\setminus f(M)$ de $F$ sur la partie $E\setminus M$ de $E$ : l'application induite $F\setminus f(M)\to E\setminus M$, $y\mapsto g(y)$, est surjective par l'égalité qu'on vient d'écrire, et injective parce que $g$ l'est. C'est une bijection.

Lecture. Le point fixe $M$ coupe $E$ en deux : sur $M$, on va utiliser $f$ ; sur le reste, $E\setminus M$, chaque élément est l'image par $g$ d'un unique élément de $F\setminus f(M)$, et l'on va utiliser $g$ « à l'envers ». Ce découpage est exactement ce qu'il fallait pour que les deux morceaux ne se marchent pas dessus.

6) La bijection $h$. L'application $h$ est bien définie : pour $x\in E\setminus M$, l'existence et l'unicité de $y\in F\setminus f(M)$ tel que $g(y)=x$ sont la bijection du 5).

Images des deux morceaux. $h(M)=f(M)$, par définition. Et $h(E\setminus M)=F\setminus f(M)$ : tout $y\in F\setminus f(M)$ s'écrit $y=h(g(y))$ avec $g(y)\in E\setminus M$, et réciproquement $h(x)\in F\setminus f(M)$ pour $x\in E\setminus M$. Ces deux images, $f(M)$ et $F\setminus f(M)$, sont complémentaires dans $F$.

Surjectivité. $h(E)=h(M)\cup h(E\setminus M)=f(M)\cup (F\setminus f(M))=F$.

Injectivité. Soient $x,x^{\prime }\in E$ avec $h(x)=h(x^{\prime })$. Si $x$ et $x^{\prime }$ étaient dans des morceaux différents, leurs images seraient l'une dans $f(M)$, l'autre dans $F\setminus f(M)$, donc distinctes : impossible. Si $x,x^{\prime }\in M$ : $f(x)=f(x^{\prime })$, et $f$ est injective, donc $x=x^{\prime }$. Si $x,x^{\prime }\in E\setminus M$ : $h(x)=h(x^{\prime })=y$, et $x=g(y)=x^{\prime }$. Dans tous les cas $x=x^{\prime }$.

$h$ est une bijection de $E$ sur $F$.

Le théorème obtenu — théorème de Cantor–Bernstein. S'il existe une injection de $E$ dans $F$ et une injection de $F$ dans $E$, alors il existe une bijection de $E$ sur $F$. Autrement dit, pour comparer deux ensembles infinis, il suffit de savoir plonger chacun dans l'autre : on n'a jamais besoin de construire la bijection à la main, le théorème s'en charge.

Ce que le problème installe. Deux idées, qui dépassent de loin ce chapitre. La première : une application croissante de $\mathcal{P}(E)$ dans lui-même a toujours un point fixe, et il s'obtient comme réunion de tout ce qui « ne dépasse pas son image » — c'est un argument de borne supérieure déguisé, qu'on retrouvera pour les suites monotones et pour les fonctions croissantes. La seconde : pour construire une bijection à partir de deux injections, on ne recolle pas au hasard, on laisse un point fixe décider de la ligne de partage. Avec l'exercice 7, la séance a donc établi les deux résultats qui fondent la comparaison des infinis : $E$ est toujours strictement plus petit que $\mathcal{P}(E)$, et deux ensembles qui se plongent l'un dans l'autre sont de même taille.