mathématiques MPSI · Chapitre 1 · Application directe du cours

Applications croissantes et points fixes

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · G. Relations binaires : équivalence et ordre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $(E, \leq)$ , $(F, \leq)$ deux ensembles ordonnés, $f : E \to F$ , $g : F \to E$ deux applications croissantes. On pose : $A = {x \in E ∣ (g \circ f) (x) = x} et B = {y \in F ∣ (f \circ g) (y) = y}$

a) Montrer que : ${\forall x \in A, f (x) \in B \forall y \in B, g (y) \in A$ On note $f^{'} : A \to B$ et $g^{'} : B \to A$ les applications induites par $f$ et $g$ . b) Montrer que $f^{'}$ et $g^{'}$ sont des bijections strictement croissantes et réciproques l'une de l'autre ( $A$ et $B$ étant munis des ordres induits).

Corrigé de la question 1

a) Montrons les deux appartenances :

Soit $x \in A$ . On a par définition $(g \circ f) (x) = x$ . En appliquant $f$ aux deux membres de cette égalité, on obtient : $f ((g \circ f) (x)) = f (x) ⟹ (f \circ g) (f (x)) = f (x)$ ce qui montre que $f (x)$ est un point fixe de $f \circ g$ , donc $f (x) \in B$ .

Soit $y \in B$ . On a par définition $(f \circ g) (y) = y$ . En appliquant $g$ aux deux membres, on obtient : $g ((f \circ g) (y)) = g (y) ⟹ (g \circ f) (g (y)) = g (y)$ ce qui montre que $g (y)$ est un point fixe de $g \circ f$ , donc $g (y) \in A$ .

Ceci nous permet de définir les restrictions (applications induites) $f^{'} : A \to B$ par $f^{'} (x) = f (x)$ et $g^{'} : B \to A$ par $g^{'} (y) = g (y)$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $f^{'}$ et $g^{'}$ sont des bijections strictement croissantes et réciproques l'une de l'autre ( $A$ et $B$ étant munis des ordres induits).

Élève

Que $g^{'} \circ f^{'}$ et $f^{'} \circ g^{'}$ soient les identités de $A$ et $B$ découle directement des définitions. Mais pour la stricte croissance, je n'ai que $f$ croissante au sens large : d'où viendrait l'inégalité stricte ?

Pour $x < y$ dans $A$ , la croissance de $f$ te donne déjà $f^{'} (x) \leq f^{'} (y)$ . Il ne te manque que $f^{'} (x) \neq = f^{'} (y)$ : quelle propriété de $f^{'}$ , que tu viens d'établir, interdit à deux éléments distincts d'avoir la même image ?

Élève

C'est l'injectivité de $f^{'}$ , qui vient de l'existence de sa réciproque $g^{'}$ : si les images étaient égales, en leur appliquant $g^{'}$ j'obtiendrais $x = y$ .

L'argument se transpose-t-il à $g^{'}$ ? Quelles hypothèses sur $g$ et sur $g^{'}$ utilises-tu pour cela, et en disposes-tu toutes ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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