Applications croissantes et points fixes

a) Montrons les deux appartenances :

• Soit $x\in A$. On a par définition $(g\circ f)(x)=x$. En appliquant $f$ aux deux membres de cette égalité, on obtient : $$f((g\circ f)(x))=f(x)⟹(f\circ g)(f(x))=f(x)$$ ce qui montre que $f(x)$ est un point fixe de $f\circ g$, donc $f(x)\in B$.

• Soit $y\in B$. On a par définition $(f\circ g)(y)=y$. En appliquant $g$ aux deux membres, on obtient : $$g((f\circ g)(y))=g(y)⟹(g\circ f)(g(y))=g(y)$$ ce qui montre que $g(y)$ est un point fixe de $g\circ f$, donc $g(y)\in A$.

Ceci nous permet de définir les restrictions (applications induites) $f^{\prime }:A\to B$ par $f^{\prime }(x)=f(x)$ et $g^{\prime }:B\to A$ par $g^{\prime }(y)=g(y)$.

b) Montrons les propriétés de $f^{\prime }$ et $g^{\prime }$ :

• Réciprocité et bijectivité : Pour tout $x\in A$, on a par définition de $A$ : $$(g^{\prime }\circ f^{\prime })(x)=g^{\prime }(f(x))=g(f(x))=x={\mathrm{Id}}_A(x)$$ Pour tout $y\in B$, on a par définition de $B$ : $$(f^{\prime }\circ g^{\prime })(y)=f^{\prime }(g(y))=f(g(y))=y={\mathrm{Id}}_B(y)$$ Ainsi, $g^{\prime }\circ f^{\prime }={\mathrm{Id}}_A$ et $f^{\prime }\circ g^{\prime }={\mathrm{Id}}_B$. Les applications $f^{\prime }$ et $g^{\prime }$ sont donc des bijections réciproques l'une de l'autre.

• Stricte croissance : Montrons que $f^{\prime }$ est strictement croissante ($x<y⟹f^{\prime }(x)<f^{\prime }(y)$) : Soient $x,y\in A$ tels que $x<y$. Puisque $f$ est croissante sur $E$, on a $f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(y)$. Montrons par l'absurde que $f^{\prime }(x)\ne f^{\prime }(y)$ : Si $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(y)$, en appliquant l'application $g^{\prime }$, on obtient : $$g^{\prime }(f^{\prime }(x))=g^{\prime }(f^{\prime }(y))⟹x=y$$ ce qui contredit l'hypothèse $x<y$ (donc $x\ne y$). On a donc $f^{\prime }(x)<f^{\prime }(y)$, ce qui prouve que $f^{\prime }$ est strictement croissante. Par un raisonnement parfaitement symétrique, l'application réciproque $g^{\prime }$ est également strictement croissante.