Intersection d'une famille d'intervalles

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles · niveau 2

Énoncé

Exprimer plus simplement $A = ⋂_{n \in N^{*}}] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} [$ .

Corrigé

$0$ vérifie $- \frac{1}{n} < 0 < \frac{1}{n}$ pour tout $n$ , donc $0 \in A$ .
Soit $x \neq = 0$ , donc $∣ x ∣ > 0$ . Par la propriété archimédienne, il existe $n \in N^{*}$ tel que $\frac{1}{n} < ∣ x ∣$ ; pour ce $n$ , $x \in /] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} [$ , donc $x \in / A$ .

Le seul élément commun est $0$ : $A = {0}$ .

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