Propriétés d'une fonction quadratique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Soit $f : R \to R^{+}$ , $f (x) = x^{2}$ . Est-elle surjective ? injective ?

Corrigé

Surjective : oui. Soit $y \in R^{+}$ . Comme $y \geq 0$ , le réel $y$ existe et $f (y) = (y)^{2} = y$ . Tout élément de l'ensemble d'arrivée a donc un antécédent.

Injective : non. $f (- 1) = 1 = f (1)$ avec $- 1 \neq = 1$ : deux éléments distincts ont la même image.

Ce que l'exercice enseigne : l'ensemble d'arrivée fait partie de la fonction. La même formule $x \mapsto x^{2}$ donne trois applications différentes :

$R \to R$ : ni injective, ni surjective ( $- 1$ n'est pas atteint) ;
$R \to R^{+}$ : surjective, non injective — c'est le cas de l'énoncé ;
$R^{+} \to R^{+}$ : bijective, de réciproque $y \mapsto y$ .

Changer l'ensemble de départ ou d'arrivée change la nature de l'application, sans toucher à la formule.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.