Propriétés d'une fonction quadratique

Surjective : oui. Soit $y\in {\mathbb{R}}^{+}$. Comme $y\ge 0$, le réel $\sqrt{y}$ existe et $f(\sqrt{y})=(\sqrt{y}{)}^2=y$. Tout élément de l'ensemble d'arrivée a donc un antécédent.

Injective : non. $f(-1)=1=f(1)$ avec $-1\ne 1$ : deux éléments distincts ont la même image.

Ce que l'exercice enseigne : l'ensemble d'arrivée fait partie de la fonction. La même formule $x\mapsto x^2$ donne trois applications différentes :

• $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ : ni injective, ni surjective ($-1$ n'est pas atteint) ;
• $\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ : surjective, non injective — c'est le cas de l'énoncé ;
• ${\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ : bijective, de réciproque $y\mapsto \sqrt{y}$.

Changer l'ensemble de départ ou d'arrivée change la nature de l'application, sans toucher à la formule.