Renforcer l'hypothèse de récurrence

a) L'échec de la récurrence directe. Notons ${\mathcal{H}}_n$ l'assertion « $S_n\le 2$ ». L'initialisation est immédiate : $S_1=1\le 2$. Pour l'hérédité, supposons ${\mathcal{H}}_n$ et regardons $S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1{)}^2}$. L'hypothèse donne seulement $$S_{n+1}\le 2+\frac{1}{(n+1{)}^2},$$ et cette majoration est strictement plus grande que $2$. On ne peut pas conclure $S_{n+1}\le 2$ : l'hypothèse « $S_n\le 2$ » ne dit pas de combien $S_n$ est en dessous de $2$, et c'est exactement ce dont on aurait besoin pour absorber le terme ajouté. L'hérédité est fausse en tant qu'implication générale : d'un nombre inférieur ou égal à $2$, ajouter un terme positif ne redonne pas un nombre inférieur ou égal à $2$.

b) La récurrence renforcée. Notons cette fois ${\mathcal{P}}_n$ l'assertion « $S_n\le 2-\frac{1}{n}$ ». Elle est plus forte que ${\mathcal{H}}_n$, puisque $2-\frac{1}{n}<2$ ; on va pourtant réussir à la démontrer, précisément parce qu'elle est plus précise.

Initialisation. $S_1=1$ et $2-\frac{1}{1}=1$ : ${\mathcal{P}}_1$ est vraie (avec égalité).

Hérédité. Soit $n\ge 1$ tel que ${\mathcal{P}}_n$ soit vraie. Alors $$S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1{)}^2}\le 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1{)}^2}.$$ Il suffit donc de montrer que $$2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1{)}^2}\le 2-\frac{1}{n+1},\text{c’est-aˋ-dire}\frac{1}{(n+1{)}^2}\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$ Or $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$, et l'inégalité voulue s'écrit $$\frac{1}{(n+1{)}^2}\le \frac{1}{n(n+1)}⟺n(n+1)\le (n+1{)}^2⟺n\le n+1,$$ ce qui est vrai. Donc $S_{n+1}\le 2-\frac{1}{n+1}$ : ${\mathcal{P}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n\ge 1$, $S_n\le 2-\frac{1}{n}<2$. En particulier $S_n<2$ : l'énoncé faible, que la récurrence directe ne savait pas prouver, découle de l'énoncé fort.

c) La suite. $(S_n)$ est croissante (on ajoute à chaque rang un terme strictement positif) et majorée par $2$. On verra au chapitre sur les suites qu'une suite croissante et majorée converge : $(S_n)$ a donc une limite, comprise entre $1$ et $2$. (Sa valeur, ${\pi }^2/6$, est le célèbre résultat d'Euler ; elle est hors de portée de ce chapitre, mais l'encadrement, lui, est acquis.)

Ce que l'exercice installe. Le renforcement de l'hypothèse de récurrence est un réflexe de prépa : quand l'hérédité échoue faute de marge, on cherche un énoncé plus précis qui porte sa propre marge — ici le terme $-\frac{1}{n}$, qui décroît juste assez vite pour absorber $\frac{1}{(n+1{)}^2}$. On retrouvera ce réflexe pour les inégalités, les suites récurrentes et les développements limités.