Caractérisation de l'injectivité

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Montrer que $f : E \to F$ est injective si et seulement si, pour toute partie $A \subset E$ , $f^{- 1} (f (A)) = A$ .

Corrigé

Sens direct. Supposons $f$ injective. On a toujours $A \subset f^{- 1} (f (A))$ . Réciproquement, soit $x \in f^{- 1} (f (A))$ : $f (x) \in f (A)$ , donc $f (x) = f (a)$ pour un $a \in A$ ; par injectivité $x = a \in A$ . D'où $f^{- 1} (f (A)) = A$ .

Sens réciproque. Supposons $f^{- 1} (f (A)) = A$ pour tout $A$ . Soient $x, x^{'}$ avec $f (x) = f (x^{'})$ . Posons $A = {x}$ : alors $f (x^{'}) = f (x) \in f (A)$ , donc $x^{'} \in f^{- 1} (f (A)) = {x}$ , soit $x^{'} = x$ . $f$ est injective.

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