Ensemble vide et équation à paramètre

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles

Énoncé

Déterminer l'ensemble des réels $a$ tels que ${x \in R ∣ x^{2} + a x + 1 \leq 0} = \emptyset$ .

Corrigé

L'ensemble est vide si et seulement si l'inéquation $x^{2} + a x + 1 \leq 0$ n'a aucune solution réelle. Le discriminant vaut $Δ = a^{2} - 4$ .

Si $Δ < 0$ , soit $a \in] - 2, 2 [$ : le trinôme (coefficient dominant $1 > 0$ ) est strictement positif sur $R$ — aucune solution, ensemble vide.
Si $Δ = 0$ , soit $a \in {- 2, 2}$ : racine double, l'ensemble des solutions est le singleton ${- a /2}$ , non vide.
Si $Δ > 0$ , soit $a \in] - \infty, - 2 [\cup] 2, + \infty [$ : deux racines, le trinôme est négatif entre elles — ensemble non vide.

L'ensemble cherché est donc $a \in] - 2, 2 [$ .

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