Une équation fonctionnelle, par analyse-synthèse

La stratégie. On ne connaît aucune solution, et l'on ne peut pas « résoudre » une équation dont l'inconnue est une fonction. On raisonne donc par analyse-synthèse : on suppose qu'une solution $f$ existe, on en déduit sa forme nécessaire (analyse), puis on vérifie que cette forme convient effectivement (synthèse). Les deux temps sont indispensables et l'on dira pourquoi.

Analyse. Soit $f$ une solution. La relation est vraie pour tout réel ; on peut donc l'appliquer non seulement en $x$ mais en $1-x$, qui est aussi un réel. En remplaçant $x$ par $1-x$, et en remarquant que $1-(1-x)=x$, on obtient une seconde relation : $$\forall x\in \mathbb{R},f(1-x)+2f(x)=(1-x{)}^2.$$ On dispose maintenant de deux équations aux deux « inconnues » $f(x)$ et $f(1-x)$ : $$\{\begin{array}{l}f(x)+2f(1-x)=x^2\\ 2f(x)+f(1-x)=(1-x{)}^2\end{array}$$ On élimine $f(1-x)$ : deux fois la seconde moins la première donne $$4f(x)-f(x)=2(1-x{)}^2-x^2,\text{soit}3f(x)=2-4x+2x^2-x^2=x^2-4x+2.$$ Donc, si $f$ est solution, nécessairement $$\forall x\in \mathbb{R},f(x)=\frac{x^2-4x+2}{3}.$$

Synthèse. Réciproquement, soit $f$ l'application définie par cette formule. Il faut vérifier qu'elle satisfait l'équation de départ — ce n'est pas automatique, car l'analyse n'a fourni qu'une condition nécessaire. Pour tout réel $x$ : $$f(1-x)=\frac{(1-x{)}^2-4(1-x)+2}{3}=\frac{1-2x+x^2-4+4x+2}{3}=\frac{x^2+2x-1}{3},$$ d'où $$f(x)+2f(1-x)=\frac{x^2-4x+2+2x^2+4x-2}{3}=\frac{3x^2}{3}=x^2.$$ La formule convient.

Conclusion. L'équation admet une solution et une seule : $f:x\mapsto \frac{x^2-4x+2}{3}$.

Le point délicat, et pourquoi la synthèse n'est pas une formalité. L'analyse a utilisé l'équation en deux points, $x$ et $1-x$, et en a tiré une conséquence. Une conséquence d'une hypothèse n'est pas équivalente à cette hypothèse : si l'on avait, par une erreur de calcul, obtenu une autre formule, l'analyse n'aurait rien signalé — c'est la synthèse qui l'aurait rejetée. Et il existe des équations fonctionnelles dont l'analyse produit un candidat qui, à la synthèse, ne convient pas : l'ensemble des solutions est alors vide. L'analyse dit « pas d'autre solution que celle-ci » ; seule la synthèse dit « celle-ci en est une ».