Partitions et image réciproque

a) Notons $B_i=f^{-1}(A_i^{\prime })$. Il faut vérifier les trois conditions d'une partition.

• Les $B_i$ sont non vides. Soit $i\in I$. Comme $(A_i^{\prime })$ est une partition, $A_i^{\prime }\ne \varnothing$ : prenons $y\in A_i^{\prime }$. Comme $f$ est surjective, il existe $x\in E$ tel que $f(x)=y\in A_i^{\prime }$, donc $x\in B_i$. (C'est le seul endroit où la surjectivité sert — sans elle, un $A_i^{\prime }$ entièrement hors de l'image de $f$ donnerait $B_i=\varnothing$.)
• Ils sont deux à deux disjoints. Pour $i\ne j$, l'image réciproque respectant l'intersection, $$B_i\cap B_j=f^{-1}(A_i^{\prime })\cap f^{-1}(A_j^{\prime })=f^{-1}\left(A_i^{\prime }\cap A_j^{\prime }\right)=f^{-1}(\varnothing )=\varnothing .$$
• Leur réunion est $E$. Soit $x\in E$. Alors $f(x)\in E^{\prime }={\bigcup }_{i\in I}{A}_i^{\prime }$, donc $f(x)\in A_{i_0}^{\prime }$ pour un certain $i_0$, c'est-à-dire $x\in B_{i_0}$.

La famille ${\left(f^{-1}(A_i^{\prime })\right)}_{i\in I}$ est donc bien une partition de $E$.

b) Prenons $E=\{1,2\}$, $E^{\prime }=\{a\}$ et $f$ définie par $f(1)=f(2)=a$ : elle est surjective. La famille $A_1=\{1\}$, $A_2=\{2\}$ est une partition de $E$, mais $$f(A_1)=\{a\}=f(A_2),$$ et ces deux parties ne sont pas disjointes : $\left(f(A_i)\right)$ n'est pas une partition de $E^{\prime }$.

Le contraste est instructif. L'image réciproque transporte les partitions parce qu'elle sépare : chaque point de $E$ a une image et une seule, donc tombe dans exactement un $B_i$. L'image directe, elle, peut fusionner deux morceaux distincts — c'est précisément ce que fait un défaut d'injectivité.