Partitions et image réciproque — exercice corrigé de maths sup (MPSI/MP2I) (chapitre 1)

Partitions et image réciproque

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Soient $E, E^{'}$ deux ensembles, $f : E \to E^{'}$ une application surjective. Montrer que, pour toute partition $(A_{i}^{'})_{i \in I}$ de $E^{'}$ , la famille $(f^{- 1} (A_{i}^{'}))_{i \in I}$ est une partition de $E$ . b) Donner un exemple d'ensembles $E, E^{'}$ , d'application surjective $f : E \to E^{'}$ et de partition $(A_{i})_{i \in I}$ de $E$ telle que $(f (A_{i}))_{i \in I}$ ne soit pas une partition de $E^{'}$ .

Corrigé

a) Notons $B_{i} = f^{- 1} (A_{i}^{'})$ . Il faut vérifier les trois conditions d'une partition.

Les $B_{i}$ sont non vides. Soit $i \in I$ . Comme $(A_{i}^{'})$ est une partition, $A_{i}^{'} \neq = \emptyset$ : prenons $y \in A_{i}^{'}$ . Comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $f (x) = y \in A_{i}^{'}$ , donc $x \in B_{i}$ . (C'est le seul endroit où la surjectivité sert — sans elle, un $A_{i}^{'}$ entièrement hors de l'image de $f$ donnerait $B_{i} = \emptyset$ .)
Ils sont deux à deux disjoints. Pour $i \neq = j$ , l'image réciproque respectant l'intersection, $B_{i} \cap B_{j} = f^{- 1} (A_{i}^{'}) \cap f^{- 1} (A_{j}^{'}) = f^{- 1} (A_{i}^{'} \cap A_{j}^{'}) = f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset .$
Leur réunion est $E$ . Soit $x \in E$ . Alors $f (x) \in E^{'} = ⋃_{i \in I} A_{i}^{'}$ , donc $f (x) \in A_{i_{0}}^{'}$ pour un certain $i_{0}$ , c'est-à-dire $x \in B_{i_{0}}$ .

La famille $(f^{- 1} (A_{i}^{'}))_{i \in I}$ est donc bien une partition de $E$ .

b) Prenons $E = {1, 2}$ , $E^{'} = {a}$ et $f$ définie par $f (1) = f (2) = a$ : elle est surjective. La famille $A_{1} = {1}$ , $A_{2} = {2}$ est une partition de $E$ , mais $f (A_{1}) = {a} = f (A_{2}),$ et ces deux parties ne sont pas disjointes : $(f (A_{i}))$ n'est pas une partition de $E^{'}$ .

Le contraste est instructif. L'image réciproque transporte les partitions parce qu'elle sépare : chaque point de $E$ a une image et une seule, donc tombe dans exactement un $B_{i}$ . L'image directe, elle, peut fusionner deux morceaux distincts — c'est précisément ce que fait un défaut d'injectivité.