Différence symétrique. On pose A Δ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A). Montrer que…

Le dictionnaire. L'exercice résolu 3 a établi, pour $A, B \subset E$ : $1_{A^{c}} = 1 - 1_{A}, 1_{A \cap B} = 1_{A} 1_{B}, 1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A} 1_{B}$ Tout le calcul qui suit se fait dans ce dictionnaire : les ensembles deviennent des fonctions à valeurs dans ${0, 1}$ , et les identités ensemblistes des calculs.

1) L'indicatrice d'une différence. Comme $A ∖ B = A \cap B^{c}$ : $1_{A ∖ B} = 1_{A} 1_{B^{c}} = 1_{A} (1 - 1_{B}) = 1_{A} - 1_{A} 1_{B}$ et de même $1_{B ∖ A} = 1_{B} - 1_{A} 1_{B}$ .

2) L'indicatrice de $A Δ B$ . Les deux parties $A ∖ B$ et $B ∖ A$ sont disjointes : leur intersection est $A \cap B^{c} \cap B \cap A^{c} = \emptyset$ . Pour une réunion disjointe, la formule de l'union se simplifie, car $1_{A ∖ B} 1_{B ∖ A} = 1_{\emptyset} = 0$ : $1_{A Δ B} = 1_{A ∖ B} + 1_{B ∖ A} = (1_{A} - 1_{A} 1_{B}) + (1_{B} - 1_{A} 1_{B})$ $1_{A Δ B} = 1_{A} + 1_{B} - 2 1_{A} 1_{B}$

Contrôle sur les quatre cas possibles : si $x \in A \cap B$ , on lit $1 + 1 - 2 = 0$ ; si $x$ est dans $A$ seul, $1 + 0 - 0 = 1$ ; symétriquement pour $B$ seul ; si $x$ n'est dans ni l'un ni l'autre, $0$ . C'est bien l'indicatrice de $A Δ B$ .

3) $A Δ B = \emptyset ⟺ A = B$ . Deux parties sont égales si et seulement si leurs indicatrices le sont ; il suffit donc de raisonner sur les fonctions.

Si $A = B$ , alors $1_{A} = 1_{B}$ et la formule donne $1_{A Δ B} = 2 1_{A} - 2 1_{A}^{2} = 0$ (car $1_{A}^{2} = 1_{A}$ , une indicatrice ne prenant que les valeurs $0$ et $1$ ). Donc $A Δ B = \emptyset$ .
Réciproquement, supposons $1_{A Δ B} = 0$ et soit $x \in E$ . Si $1_{A} (x) \neq = 1_{B} (x)$ , l'un vaut $1$ et l'autre $0$ , donc $1_{A} (x) 1_{B} (x) = 0$ et $1_{A Δ B} (x) = 1_{A} (x) + 1_{B} (x) - 0 = 1 \neq = 0$ ce qui est exclu. Donc $1_{A} (x) = 1_{B} (x)$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $A = B$ .

Ce que l'indicatrice fait gagner. Elle transforme une question d'appartenance — qui se traite d'ordinaire par double inclusion et disjonction de cas — en un calcul algébrique sur des fonctions. La formule obtenue dit d'ailleurs quelque chose de profond : modulo $2$ , elle se lit $1_{A Δ B} \equiv 1_{A} + 1_{B} [2]$ La différence symétrique est l'addition modulo $2$ des indicatrices : c'est la raison pour laquelle $Δ$ se comporte comme une addition, avec $\emptyset$ pour neutre et chaque partie pour son propre opposé.

Énoncé

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