Images d'une famille de parties — exercice corrigé de maths sup (MPSI/MP2I) (chapitre 1)

Images d'une famille de parties

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques · niveau 2

Énoncé

Soient $E, E^{'}$ deux ensembles, $f : E \to E^{'}$ une application.

a) Montrer, pour toute famille $(A_{i}^{'})_{i \in I}$ de parties de $E^{'}$ : $f^{- 1} (i \in I ⋃ A_{i}^{'}) = i \in I ⋃ f^{- 1} (A_{i}^{'}) et f^{- 1} (i \in I ⋂ A_{i}^{'}) = i \in I ⋂ f^{- 1} (A_{i}^{'})$ b) Montrer, pour toute famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de $E$ : $f (i \in I ⋃ A_{i}) = i \in I ⋃ f (A_{i}) et f (i \in I ⋂ A_{i}) \subset i \in I ⋂ f (A_{i})$ c) Établir que, si $f$ est injective, alors, pour toute famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de $E$ : $f (i \in I ⋂ A_{i}) = i \in I ⋂ f (A_{i})$

Corrigé

a) Soit $x \in E$ .

Pour l'union : $x \in f^{- 1} (i \in I ⋃ A_{i}^{'}) ⟺ f (x) \in i \in I ⋃ A_{i}^{'} ⟺ \exists i \in I, f (x) \in A_{i}^{'} ⟺ \exists i \in I, x \in f^{- 1} (A_{i}^{'}) ⟺ x \in i \in I ⋃ f^{- 1} (A_{i}^{'})$
Pour l'intersection : $x \in f^{- 1} (i \in I ⋂ A_{i}^{'}) ⟺ f (x) \in i \in I ⋂ A_{i}^{'} ⟺ \forall i \in I, f (x) \in A_{i}^{'} ⟺ \forall i \in I, x \in f^{- 1} (A_{i}^{'}) ⟺ x \in i \in I ⋂ f^{- 1} (A_{i}^{'})$

b) Soit $y \in E^{'}$ .

Pour l'union : $y \in f (i \in I ⋃ A_{i}) ⟺ \exists x \in i \in I ⋃ A_{i}, y = f (x) ⟺ \exists i \in I, \exists x \in A_{i}, y = f (x) ⟺ \exists i \in I, y \in f (A_{i}) ⟺ y \in i \in I ⋃ f (A_{i})$
Pour l'intersection : Soit $y \in f (⋂_{i \in I} A_{i})$ . Il existe $x \in ⋂_{i \in I} A_{i}$ tel que $y = f (x)$ . Pour tout $i \in I$ , on a $x \in A_{i}$ , donc $y = f (x) \in f (A_{i})$ pour tout $i \in I$ . On en déduit $y \in ⋂_{i \in I} f (A_{i})$ . D'où $f (⋂_{i \in I} A_{i}) \subset ⋂_{i \in I} f (A_{i})$ .

c) Supposons $f$ injective. Montrons l'inclusion réciproque $⋂_{i \in I} f (A_{i}) \subset f (⋂_{i \in I} A_{i})$ : Soit $y \in ⋂_{i \in I} f (A_{i})$ . Pour chaque $i \in I$ , $y \in f (A_{i})$ , il existe donc un élément $x_{i} \in A_{i}$ tel que $y = f (x_{i})$ . Puisque $f$ est injective, tous les $x_{i}$ sont égaux : en effet, pour tous $i, j \in I$ , $f (x_{i}) = y = f (x_{j}) ⟹ x_{i} = x_{j}$ . Notons $x$ cette valeur commune. On a $x \in A_{i}$ pour tout $i \in I$ , donc $x \in ⋂_{i \in I} A_{i}$ . Puisque $y = f (x)$ , on a bien $y \in f (⋂_{i \in I} A_{i})$ . D'où l'égalité.