Étude d'une fonction définie par morceaux

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f : R \to R$ définie par $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 1 x^{2} 4 - x si x \leq 0 si 0 < x \leq 2 si x > 2$ Étudier l'injectivité et la surjectivité de $f$ .

Corrigé

Images des morceaux :

sur $] - \infty, 0]$ : $f (x) = 2 x - 1$ croissante, image $] - \infty, - 1]$ ;
sur $] 0, 2]$ : $f (x) = x^{2}$ croissante, image $] 0, 4]$ ;
sur $] 2, + \infty [$ : $f (x) = 4 - x$ décroissante, image $] - \infty, 2 [$ .

Injectivité : les images des 1er et 3e morceaux se chevauchent. Pour $y = - 2$ : sur le 1er, $2 x - 1 = - 2 \Rightarrow x = - 1/2$ ; sur le 3e, $4 - x = - 2 \Rightarrow x = 6$ . Ainsi $f (- 1/2) = - 2 = f (6)$ avec $- 1/2 \neq = 6$ : $f$ n'est pas injective.

Surjectivité : $f (R) =] - \infty, - 1] \cup] 0, 4] \cup] - \infty, 2 [=] - \infty, 4]$ . Les réels strictement supérieurs à $4$ (ex. $5$ ) n'ont aucun antécédent : $f$ n'est pas surjective.