L'identité $f(f^{-1}(A^{\prime }))=A^{\prime }\cap f(E)$

Soit $A^{\prime }\in \mathcal{P}(E^{\prime })$. Montrons l'égalité par double inclusion :

• Inclusion $f(f^{-1}(A^{\prime }))\subset A^{\prime }\cap f(E)$ : Soit $y\in f(f^{-1}(A^{\prime }))$. Il existe $x\in f^{-1}(A^{\prime })$ tel que $y=f(x)$.
• Par définition de l'image réciproque, $x\in f^{-1}(A^{\prime })⟹f(x)\in A^{\prime }$, d'où $y\in A^{\prime }$.
• Puisque $x\in E$, on a de plus $y=f(x)\in f(E)$. Ainsi, $y\in A^{\prime }\cap f(E)$. D'où $f(f^{-1}(A^{\prime }))\subset A^{\prime }\cap f(E)$.

• Inclusion $A^{\prime }\cap f(E)\subset f(f^{-1}(A^{\prime }))$ : Soit $y\in A^{\prime }\cap f(E)$. Puisque $y\in f(E)$, il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$. Comme $y\in A^{\prime }$, on a $f(x)\in A^{\prime }$, ce qui montre que $x\in f^{-1}(A^{\prime })$. Par conséquent, $y=f(x)\in f(f^{-1}(A^{\prime }))$. D'où $A^{\prime }\cap f(E)\subset f(f^{-1}(A^{\prime }))$.

L'égalité est ainsi démontrée.