Inverses à gauche et à droite

a) Inverse à gauche.

Sens direct. Supposons $f$ injective. Il faut construire $h$. Pour $y\in F$, deux cas : si $y\in f(E)$, l'injectivité garantit que $y$ a un antécédent et un seul, que l'on note $h(y)$ ; si $y\notin f(E)$, on pose $h(y)=x_0$, où $x_0$ est un élément de $E$ fixé une fois pour toutes — c'est ici que sert l'hypothèse $E\ne \varnothing$. L'application $h$ est bien définie, précisément parce que l'antécédent est unique. Et pour tout $x\in E$, $f(x)\in f(E)$ a pour unique antécédent $x$, donc $h(f(x))=x$ : $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$.

Sens réciproque. Supposons qu'il existe $h$ avec $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$, et soient $x,x^{\prime }\in E$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. En appliquant $h$ : $h(f(x))=h(f(x^{\prime }))$, c'est-à-dire $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective. (Remarquer qu'on n'a utilisé aucune propriété de $h$ : seule l'égalité $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$ compte.)

Surjectivité de $h$. Si $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$, alors tout $x\in E$ s'écrit $x=h(f(x))$ : $x$ est l'image par $h$ de $f(x)$. Donc $h$ est surjective. Plus généralement, si $u\circ v$ est surjective, $u$ l'est — c'est ce qu'on vient de démontrer avec $u=h$, $v=f$.