Inverses à gauche et à droite

a) Inverse à gauche.

Sens direct. Supposons $f$ injective. Il faut construire $h$. Pour $y\in F$, deux cas : si $y\in f(E)$, l'injectivité garantit que $y$ a un antécédent et un seul, que l'on note $h(y)$ ; si $y\notin f(E)$, on pose $h(y)=x_0$, où $x_0$ est un élément de $E$ fixé une fois pour toutes — c'est ici que sert l'hypothèse $E\ne \varnothing$. L'application $h$ est bien définie, précisément parce que l'antécédent est unique. Et pour tout $x\in E$, $f(x)\in f(E)$ a pour unique antécédent $x$, donc $h(f(x))=x$ : $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$.

Sens réciproque. Supposons qu'il existe $h$ avec $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$, et soient $x,x^{\prime }\in E$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. En appliquant $h$ : $h(f(x))=h(f(x^{\prime }))$, c'est-à-dire $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective. (Remarquer qu'on n'a utilisé aucune propriété de $h$ : seule l'égalité $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$ compte.)

Surjectivité de $h$. Si $h\circ f={\mathrm{Id}}_E$, alors tout $x\in E$ s'écrit $x=h(f(x))$ : $x$ est l'image par $h$ de $f(x)$. Donc $h$ est surjective. Plus généralement, si $u\circ v$ est surjective, $u$ l'est — c'est ce qu'on vient de démontrer avec $u=h$, $v=f$.

b) Inverse à droite.

Sens direct. Supposons $f$ surjective. Pour tout $y\in F$, l'ensemble $f^{-1}(\{y\})$ des antécédents de $y$ est non vide ; on choisit dans chacun un élément, noté $g(y)$. On a alors $f(g(y))=y$ pour tout $y$ : $f\circ g={\mathrm{Id}}_F$.

Sens réciproque. Supposons qu'il existe $g$ avec $f\circ g={\mathrm{Id}}_F$, et soit $y\in F$. Posons $x=g(y)$ : alors $f(x)=f(g(y))=y$. Tout $y$ a un antécédent : $f$ est surjective.

Injectivité de $g$. Si $g(y)=g(y^{\prime })$, alors $f(g(y))=f(g(y^{\prime }))$, c'est-à-dire $y=y^{\prime }$. Donc $g$ est injective. Plus généralement, si $u\circ v$ est injective, $v$ l'est.

Le point délicat. Les deux constructions ne sont pas de même nature. Dans le a), $h(y)$ est déterminé : l'unique antécédent. Dans le b), $g(y)$ est choisi parmi plusieurs antécédents possibles, et il faut faire ce choix simultanément pour tous les $y$ — une infinité, éventuellement. Que l'on ait le droit de le faire est un principe de la théorie des ensembles, l'axiome du choix, que le programme admet sans le nommer. Un inverse à gauche est unique dès que $f$ est surjective ; un inverse à droite ne l'est presque jamais.

Ce que l'exercice installe. L'injectivité et la surjectivité se lisent par composition : injective, c'est « simplifiable à gauche » ; surjective, c'est « simplifiable à droite ». On retrouvera exactement ces deux phrases pour les applications linéaires et pour les matrices, où « inverse à gauche » et « inverse à droite » deviennent des objets de calcul.