Injectivité et surjectivité d'une composée

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Soient $E, F, G$ des ensembles, $f : E \to F$ , $g : F \to G$ des applications. Montrer :

a) si $g \circ f$ est injective et $f$ est surjective, alors $g$ est injective. b) si $g \circ f$ est surjective et $g$ est injective, alors $f$ est surjective.

Corrigé

a) Supposons $g \circ f$ injective et $f$ surjective. Soient $y, y^{'} \in F$ tels que $g (y) = g (y^{'})$ . Puisque $f$ est surjective, il existe $x, x^{'} \in E$ tels que $y = f (x)$ et $y^{'} = f (x^{'})$ . En substituant, l'égalité devient : $g (f (x)) = g (f (x^{'})) ⟺ (g \circ f) (x) = (g \circ f) (x^{'})$ Puisque $g \circ f$ est injective, on en déduit $x = x^{'}$ . En appliquant $f$ , on obtient $f (x) = f (x^{'})$ , c'est-à-dire $y = y^{'}$ . L'application $g$ est donc injective.

b) Supposons $g \circ f$ surjective et $g$ injective. Soit $y \in F$ . On cherche un antécédent de $y$ par $f$ dans $E$ . Considérons l'image $g (y) \in G$ . Puisque $g \circ f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que : $(g \circ f) (x) = g (y) ⟺ g (f (x)) = g (y)$ Puisque $g$ est injective, cette égalité implique directement : $f (x) = y$ Ainsi, $x \in E$ est un antécédent de $y$ par $f$ . L'application $f$ est donc surjective.

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