Injectivité et surjectivité d'une composée

a) Supposons $g\circ f$ injective et $f$ surjective. Soient $y,y^{\prime }\in F$ tels que $g(y)=g(y^{\prime })$. Puisque $f$ est surjective, il existe $x,x^{\prime }\in E$ tels que $y=f(x)$ et $y^{\prime }=f(x^{\prime })$. En substituant, l'égalité devient : $$g(f(x))=g(f(x^{\prime }))⟺(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x^{\prime })$$ Puisque $g\circ f$ est injective, on en déduit $x=x^{\prime }$. En appliquant $f$, on obtient $f(x)=f(x^{\prime })$, c'est-à-dire $y=y^{\prime }$. L'application $g$ est donc injective.

b) Supposons $g\circ f$ surjective et $g$ injective. Soit $y\in F$. On cherche un antécédent de $y$ par $f$ dans $E$. Considérons l'image $g(y)\in G$. Puisque $g\circ f$ est surjective, il existe $x\in E$ tel que : $$(g\circ f)(x)=g(y)⟺g(f(x))=g(y)$$ Puisque $g$ est injective, cette égalité implique directement : $$f(x)=y$$ Ainsi, $x\in E$ est un antécédent de $y$ par $f$. L'application $f$ est donc surjective.