Déterminer toutes les applications f : ℝ → ℝ telles que ∀ x ∈ ℝ, f(x)…

L'exercice se traite en deux temps, et les deux sont obligatoires : l'analyse ne produit qu'un candidat, la synthèse seule prouve qu'il convient.

Analyse (condition nécessaire). Supposons que $f$ soit une solution. On dispose donc de $$(1)\forall x\in \mathbb{R},f(x)+2f(1-x)=x^2$$ L'application $x\mapsto 1-x$ envoie $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ : on peut donc écrire $(1)$ en $1-x$, ce qui fournit une seconde équation portant sur les deux mêmes inconnues $f(x)$ et $f(1-x)$ : $$(2)\forall x\in \mathbb{R},f(1-x)+2f(x)=(1-x{)}^2$$

Il ne reste qu'à éliminer $f(1-x)$ : en calculant $2\times (2)-(1)$, $$(2f(1-x)+4f(x))-(f(x)+2f(1-x))=2(1-x{)}^2-x^2$$ $$3f(x)=2-4x+2x^2-x^2=x^2-4x+2$$ d'où l'unique candidat possible : $$\boxed{f(x)=\frac{x^2-4x+2}{3}}$$

Synthèse (condition suffisante). Vérifions que cette fonction convient. Pour $x\in \mathbb{R}$ : $$f(1-x)=\frac{(1-x{)}^2-4(1-x)+2}{3}=\frac{1-2x+x^2-4+4x+2}{3}=\frac{x^2+2x-1}{3}$$ donc $$f(x)+2f(1-x)=\frac{(x^2-4x+2)+2(x^2+2x-1)}{3}=\frac{3x^2}{3}=x^2$$ La fonction convient. L'équation admet donc une et une seule solution.

Pourquoi la synthèse n'est pas une formalité. L'analyse a supposé l'existence d'une solution et en a déduit sa forme : elle établit « s'il y a une solution, c'est celle-là », et rien de plus. Le système $\{(1),(2)\}$ est une conséquence de $(1)$, pas un équivalent : le remplacement $x\mapsto 1-x$ ajoute de l'information, et il faut revenir à l'énoncé de départ pour s'assurer qu'on n'a pas fabriqué un candidat fantôme.

Le point de méthode, lui, est réutilisable : chaque fois qu'une équation fonctionnelle fait intervenir $x$ et $\phi (x)$ avec $\phi \circ \phi =\mathrm{Id}$ (ici $\phi (x)=1-x$, mais aussi $\phi (x)=-x$ ou $\phi (x)=1/x$), la substitution $x\mapsto \phi (x)$ ferme le système.