Lois de De Morgan pour une famille de parties

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles

Énoncé

Soit $E$ un ensemble. Établir les formules suivantes, pour toutes familles de parties de $E$ et toutes parties de $E$ :

a) $∁_{E} (⋃_{i \in I} A_{i}) = ⋂_{i \in I} ∁_{E} (A_{i})$ et $∁_{E} (⋂_{i \in I} A_{i}) = ⋃_{i \in I} ∁_{E} (A_{i})$ b) $(⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B = ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)$ et $(⋂_{i \in I} A_{i}) \cup B = ⋂_{i \in I} (A_{i} \cup B)$ c) $(⋃_{i \in I} A_{i}) \cap (⋃_{j \in J} B_{j}) = ⋃_{(i, j) \in I \times J} (A_{i} \cap B_{j})$ et $(⋂_{i \in I} A_{i}) \cup (⋂_{j \in J} B_{j}) = ⋂_{(i, j) \in I \times J} (A_{i} \cup B_{j})$ d) $(\forall i \in I, A_{i} \subset B_{i}) \Rightarrow (⋃_{i \in I} A_{i} \subset ⋃_{i \in I} B_{i} et ⋂_{i \in I} A_{i} \subset ⋂_{i \in I} B_{i})$ e) $⋂_{i \in I} (A_{i} - B_{i}) = (⋂_{i \in I} A_{i}) - (⋃_{i \in I} B_{i})$

Corrigé

Montrons ces formules à l'aide des définitions logiques :

a) Lois de De Morgan :

Soit $x \in E$ . On a : $x \in ∁_{E} (i \in I ⋃ A_{i}) ⟺ x \in / i \in I ⋃ A_{i} ⟺ \forall i \in I, x \in / A_{i} ⟺ \forall i \in I, x \in ∁_{E} (A_{i}) ⟺ x \in i \in I ⋂ ∁_{E} (A_{i})$
De même : $x \in ∁_{E} (i \in I ⋂ A_{i}) ⟺ x \in / i \in I ⋂ A_{i} ⟺ \exists i \in I, x \in / A_{i} ⟺ \exists i \in I, x \in ∁_{E} (A_{i}) ⟺ x \in i \in I ⋃ ∁_{E} (A_{i})$

b) Distributivité :

Soit $x \in E$ . $x \in (i \in I ⋃ A_{i}) \cap B ⟺ (\exists i \in I, x \in A_{i}) et x \in B ⟺ \exists i \in I, (x \in A_{i} et x \in B) ⟺ x \in i \in I ⋃ (A_{i} \cap B)$
De même : $x \in (i \in I ⋂ A_{i}) \cup B ⟺ (\forall i \in I, x \in A_{i}) ou x \in B ⟺ \forall i \in I, (x \in A_{i} ou x \in B) ⟺ x \in i \in I ⋂ (A_{i} \cup B)$

c) Distributivité générale :

Soit $x \in E$ . \begin{align} x \in \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \cap \left( \bigcup_{j \in J} B_j \right) &\iff \left( \exists i \in I, \ x \in A_i \right) \text{ et } \left( \exists j \in J, \ x \in B_j \right) \\ &\iff \exists (i,j) \in I \times J, \ \left( x \in A_i \text{ et } x \in B_j \right) \iff x \in \bigcup_{(i,j) \in I \times J} (A_i \cap B_j) \end{align}
De même pour la seconde formule en remplaçant la conjonction "et" par la disjonction "ou" et les quantificateurs.

d) Supposons que pour tout $i \in I$ , $A_{i} \subset B_{i}$ .

Soit $x \in ⋃_{i \in I} A_{i}$ . Il existe $i_{0} \in I$ tel que $x \in A_{i_{0}}$ . Comme $A_{i_{0}} \subset B_{i_{0}}$ , on a $x \in B_{i_{0}}$ , d'où $x \in ⋃_{i \in I} B_{i}$ . L'inclusion des unions est établie.
Soit $x \in ⋂_{i \in I} A_{i}$ . Pour tout $i \in I$ , $x \in A_{i}$ . Comme $A_{i} \subset B_{i}$ , on a $x \in B_{i_{0}}$ pour tout $i \in I$ , d'où $x \in ⋂_{i \in I} B_{i}$ . L'inclusion des intersections est établie.

e) En utilisant les complémentaires et les lois précédentes : $i \in I ⋂ (A_{i} - B_{i}) = i \in I ⋂ (A_{i} \cap ∁_{E} (B_{i})) = (i \in I ⋂ A_{i}) \cap (i \in I ⋂ ∁_{E} (B_{i}))$ Par De Morgan, $⋂_{i \in I} ∁_{E} (B_{i}) = ∁_{E} (⋃_{i \in I} B_{i})$ . On a donc : $i \in I ⋂ (A_{i} - B_{i}) = (i \in I ⋂ A_{i}) \cap ∁_{E} (i \in I ⋃ B_{i}) = (i \in I ⋂ A_{i}) - (i \in I ⋃ B_{i})$

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