Composition d'applications

1. Soient $x,x^{\prime }$ avec $f(x)=f(x^{\prime })$. Alors $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x^{\prime })$ ; par injectivité de $g\circ f$, $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective.

2. Soit $z\in G$. Par surjectivité de $g\circ f$, il existe $x$ avec $g(f(x))=z$. En posant $y=f(x)$, $g(y)=z$. Donc $g$ est surjective.

3. Contre-exemple : $E=\{1\}$, $F=\{a,b\}$, $G=\{1\}$, $f(1)=a$, $g(a)=g(b)=1$. Alors $g\circ f$ est bijective (entre singletons), mais $g$ n'est pas injective car $g(a)=g(b)$ avec $a\ne b$.