Composition d'applications

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ .

Montrer que si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
Montrer que si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.
Donner un contre-exemple : la bijectivité de $g \circ f$ n'impose pas l'injectivité de $g$ .

Corrigé

1. Soient $x, x^{'}$ avec $f (x) = f (x^{'})$ . Alors $(g \circ f) (x) = (g \circ f) (x^{'})$ ; par injectivité de $g \circ f$ , $x = x^{'}$ . Donc $f$ est injective.

2. Soit $z \in G$ . Par surjectivité de $g \circ f$ , il existe $x$ avec $g (f (x)) = z$ . En posant $y = f (x)$ , $g (y) = z$ . Donc $g$ est surjective.

3. Contre-exemple : $E = {1}$ , $F = {a, b}$ , $G = {1}$ , $f (1) = a$ , $g (a) = g (b) = 1$ . Alors $g \circ f$ est bijective (entre singletons), mais $g$ n'est pas injective car $g (a) = g (b)$ avec $a \neq = b$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.