Identité ensembliste d'une surjection

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Soit $f : E \to F$ surjective. Montrer que pour toute partie $B \subset F$ , $f (f^{- 1} (B)) = B$ .

Corrigé

Double inclusion :

On a toujours $f (f^{- 1} (B)) \subset B$ .
Soit $y \in B$ . Par surjectivité, il existe $x \in E$ avec $f (x) = y$ . Comme $f (x) = y \in B$ , $x \in f^{- 1} (B)$ , donc $y = f (x) \in f (f^{- 1} (B))$ . D'où $B \subset f (f^{- 1} (B))$ .

D'où l'égalité $f (f^{- 1} (B)) = B$ .

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