Montrer par l'absurde que √2 ∉ ℚ. Adapter la preuve à √3, puis…

Le lemme. L'exercice 19 établit par contraposée que, pour $n\in \mathbb{Z}$, si $n^2$ est impair alors $n$ est impair — autrement dit : $$n^2\text{ pair}⟹n\text{ pair}$$

1) $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$. Raisonnons par l'absurde : supposons $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$. On peut alors écrire $$\sqrt{2}=\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{N}}^{\ast },\mathrm{pgcd}(p,q)=1$$ (toute fraction se met sous forme irréductible). En élevant au carré : $p^2=2q^2$.

• $p^2$ est pair, donc $p$ est pair par le lemme : écrivons $p=2k$.
• Alors $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair par le même lemme.

Ainsi $2$ divise $p$ et $q$, ce qui contredit $\mathrm{pgcd}(p,q)=1$. L'hypothèse est donc absurde : $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

2) Le cas de $\sqrt{3}$. La preuve se transporte, à condition de remplacer le lemme par son analogue : $$3\mid n^2⟹3\mid n$$ qui s'obtient par disjonction de cas sur le reste de $n$ modulo $3$ : si $n=3k$ alors $n^2=3(3k^2)$ ; si $n=3k\pm 1$ alors $n^2=3(3k^2\pm 2k)+1$ n'est pas divisible par $3$. Seul le premier cas donne $3\mid n^2$, et il donne $3\mid n$.

On reprend alors mot pour mot : $p^2=3q^2$ donne $3\mid p$, puis $p=3k$ donne $q^2=3k^2$ donc $3\mid q$ — contradiction.

3) Pourquoi la preuve échoue pour $\sqrt{4}$. Elle échoue exactement là où il faut : le lemme est faux pour $4$. On a bien $4\mid 2^2$, mais $4\nmid 2$. La chaîne « $p^2$ divisible par $4$ donc $p$ divisible par $4$ » se rompt à son premier maillon, et rien ne permet de descendre.

Et c'est heureux, car $\sqrt{4}=2=\frac{2}{1}$ est rationnel : une démonstration qui aurait fonctionné aurait prouvé quelque chose de faux.

Ce que l'échec enseigne. Le lemme « $n\mid p^2\Rightarrow n\mid p$ » n'est vrai que pour $n$ premier — c'est le lemme d'Euclide. La preuve donne donc en réalité l'irrationalité de $\sqrt{p}$ pour tout nombre premier $p$, et refuse de fonctionner précisément pour les carrés parfaits.