Composition, monotonie et injectivité

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · G. Relations binaires : équivalence et ordre

Énoncé

Soient $(E, \leq)$ , $(F, \leq)$ , $(G, \leq)$ trois ensembles ordonnés, $f : E \to F$ , $g : F \to G$ deux applications.

a) Si $f$ et $g$ sont monotones (resp. strictement monotones), que dire de $g \circ f$ ? b) Donner un exemple où $f$ est croissante et bijective et où $f^{- 1}$ n'est pas croissante. c) Montrer que, si $f$ est croissante et injective, alors $f$ est strictement croissante. d) Montrer que, si $f$ est strictement croissante et si l'ordre de $E$ est total, alors $f$ est injective.

Corrigé

a) Étudions la monotonie de $g \circ f$ :

Si $f$ et $g$ sont croissantes : pour $x \leq y$ , on a $f (x) \leq f (y)$ (car $f$ croissante), d'où $g (f (x)) \leq g (f (y))$ (car $g$ croissante). L'application $g \circ f$ est donc croissante.
Si $f$ et $g$ sont décroissantes : pour $x \leq y$ , on a $f (x) \geq f (y)$ (car $f$ décroissante), d'où $g (f (x)) \leq g (f (y))$ (car $g$ décroissante). L'application $g \circ f$ est donc croissante.
Si l'une est croissante et l'autre décroissante : pour $x \leq y$ , supposons par exemple $f$ croissante et $g$ décroissante. On a $f (x) \leq f (y)$ , d'où $g (f (x)) \geq g (f (y))$ . L'application $g \circ f$ est donc décroissante.

Ces résultats restent valables en remplaçant "monotone" par "strictement monotone" (les inégalités larges deviennent strictes pour $x < y$ ).

b) Pour que $f$ soit croissante et bijective, mais $f^{- 1}$ ne soit pas croissante, il faut nécessairement travailler avec des ordres non totaux. Considérons $E = {1, 2}$ muni de l'ordre discret (la relation d'égalité : $1$ et $2$ sont incomparables). Considérons $F = {1, 2}$ muni de l'ordre classique $1 \leq 2$ . Définissons l'application $f : E \to F$ par $f (1) = 1$ et $f (2) = 2$ .

L'application $f$ est bijective par construction.
L'application $f$ est croissante : soient $x, y \in E$ . Si $x \leq_{E} y$ , alors $x = y$ , donc $f (x) = f (y)$ , d'où $f (x) \leq_{F} f (y)$ .
Cependant, l'application réciproque $f^{- 1} : F \to E$ n'est pas croissante : on a $1 \leq_{F} 2$ dans $F$ , mais $f^{- 1} (1) = 1$ et $f^{- 1} (2) = 2$ sont incomparables dans $E$ , on n'a donc pas $f^{- 1} (1) \leq_{E} f^{- 1} (2)$ .

c) Supposons $f$ croissante et injective. Soient $x, y \in E$ tels que $x < y$ (ce qui signifie $x \leq y$ et $x \neq = y$ ).

Puisque $f$ est croissante, on a $f (x) \leq f (y)$ .
Puisque $f$ est injective et $x \neq = y$ , on a $f (x) \neq = f (y)$ . Ces deux assertions impliquent $f (x) < f (y)$ . L'application $f$ est donc strictement croissante.

d) Supposons $f$ strictement croissante et l'ordre de $E$ total. Soient $x, y \in E$ tels que $x \neq = y$ . L'ordre de $E$ étant total, on a soit $x < y$ , soit $y < x$ .

Si $x < y$ , alors par stricte croissance de $f$ : $f (x) < f (y)$ , donc $f (x) \neq = f (y)$ .
Si $y < x$ , alors par stricte croissance de $f$ : $f (y) < f (x)$ , donc $f (x) \neq = f (y)$ . Dans tous les cas, $f (x) \neq = f (y)$ . L'application $f$ est donc injective.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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