Composition, monotonie et injectivité

a) Étudions la monotonie de $g\circ f$ :

• Si $f$ et $g$ sont croissantes : pour $x\le y$, on a $f(x)\le f(y)$ (car $f$ croissante), d'où $g(f(x))\le g(f(y))$ (car $g$ croissante). L'application $g\circ f$ est donc croissante.
• Si $f$ et $g$ sont décroissantes : pour $x\le y$, on a $f(x)\ge f(y)$ (car $f$ décroissante), d'où $g(f(x))\le g(f(y))$ (car $g$ décroissante). L'application $g\circ f$ est donc croissante.
• Si l'une est croissante et l'autre décroissante : pour $x\le y$, supposons par exemple $f$ croissante et $g$ décroissante. On a $f(x)\le f(y)$, d'où $g(f(x))\ge g(f(y))$. L'application $g\circ f$ est donc décroissante.

Ces résultats restent valables en remplaçant "monotone" par "strictement monotone" (les inégalités larges deviennent strictes pour $x<y$).

b) Pour que $f$ soit croissante et bijective, mais $f^{-1}$ ne soit pas croissante, il faut nécessairement travailler avec des ordres non totaux. Considérons $E=\{1,2\}$ muni de l'ordre discret (la relation d'égalité : $1$ et $2$ sont incomparables). Considérons $F=\{1,2\}$ muni de l'ordre classique $1\le 2$. Définissons l'application $f:E\to F$ par $f(1)=1$ et $f(2)=2$.

• L'application $f$ est bijective par construction.
• L'application $f$ est croissante : soient $x,y\in E$. Si $x{\le }_{E}y$, alors $x=y$, donc $f(x)=f(y)$, d'où $f(x){\le }_{F}f(y)$.
• Cependant, l'application réciproque $f^{-1}:F\to E$ n'est pas croissante : on a $1{\le }_{F}2$ dans $F$, mais $f^{-1}(1)=1$ et $f^{-1}(2)=2$ sont incomparables dans $E$, on n'a donc pas $f^{-1}(1){\le }_E{f}^{-1}(2)$.

c) Supposons $f$ croissante et injective. Soient $x,y\in E$ tels que $x<y$ (ce qui signifie $x\le y$ et $x\ne y$).

• Puisque $f$ est croissante, on a $f(x)\le f(y)$.
• Puisque $f$ est injective et $x\ne y$, on a $f(x)\ne f(y)$. Ces deux assertions impliquent $f(x)<f(y)$. L'application $f$ est donc strictement croissante.

d) Supposons $f$ strictement croissante et l'ordre de $E$ total. Soient $x,y\in E$ tels que $x\ne y$. L'ordre de $E$ étant total, on a soit $x<y$, soit $y<x$.

• Si $x<y$, alors par stricte croissance de $f$ : $f(x)<f(y)$, donc $f(x)\ne f(y)$.
• Si $y<x$, alors par stricte croissance de $f$ : $f(y)<f(x)$, donc $f(x)\ne f(y)$. Dans tous les cas, $f(x)\ne f(y)$. L'application $f$ est donc injective.