Injectivité d'une fonction rationnelle

Soient $x,x^{\prime }\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. $$\frac{x+1}{x-2}=\frac{x^{\prime }+1}{x^{\prime }-2}⟹(x+1)(x^{\prime }-2)=(x^{\prime }+1)(x-2)$$ $$x{x}^{\prime }-2x+x^{\prime }-2=x{x}^{\prime }-2x^{\prime }+x-2⟹-3x=-3x^{\prime }⟹x=x^{\prime }$$ L'application $f$ est donc injective.

Soit $y\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$. Cherchons $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ tel que $f(x)=y$ : $$y=\frac{x+1}{x-2}⟹y(x-2)=x+1⟹x(y-1)=2y+1$$ Puisque $y\ne 1$, nous pouvons diviser : $$x=\frac{2y+1}{y-1}$$ Vérifions que $x\ne 2$ : si $x=2$, alors $2y+1=2y-2$, ce qui est impossible. Ainsi, pour tout $y\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$, il existe un unique antécédent $x$. L'application $f$ est donc bijective et sa réciproque $f^{-1}:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}\setminus \{2\}$ est définie par : $$f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}$$