Bijectivité lorsque $f\circ g\circ f$ est bijective

Puisque l'application $f\circ g\circ f:E\to F$ est bijective :

• Elle est injective. Or, pour toutes applications $u,v$, si $u\circ v$ est injective, alors $v$ est injective. En posant $u=f\circ g$ et $v=f$, on en déduit que $f$ est injective.
• Elle est surjective. Or, si $u\circ v$ est surjective, alors $u$ est surjective. En posant $u=f$ et $v=g\circ f$, on en déduit que $f$ est surjective.

L'application $f$ étant injective et surjective, elle est bijective.

Puisque $f$ est bijective, elle admet une application réciproque $f^{-1}:F\to E$. On peut alors exprimer $g$ en composant $f\circ g\circ f$ par $f^{-1}$ à gauche et à droite : $$f^{-1}\circ (f\circ g\circ f)\circ f^{-1}=(f^{-1}\circ f)\circ g\circ (f\circ f^{-1})={\mathrm{Id}}_E\circ g\circ {\mathrm{Id}}_F=g$$ Puisque $g$ est la composée de trois applications bijectives ($f^{-1}$, $f\circ g\circ f$ et $f^{-1}$), $g$ est également bijective.