Fonctions caractéristiques et opérations ensemblistes

Montrons les différentes formules pour tout $x\in E$ :

1) $A\subset B⟺{\phi }_A\le {\phi }_B$ :

• Supposons $A\subset B$. Soit $x\in E$. Si $x\in A$, alors $x\in B$, donc ${\phi }_A(x)=1={\phi }_B(x)$. Si $x\notin A$, alors ${\phi }_A(x)=0\le {\phi }_B(x)$ car ${\phi }_B(x)\in \{0,1\}$. Dans tous les cas, ${\phi }_A(x)\le {\phi }_B(x)$.
• Réciproquement, supposons ${\phi }_A\le {\phi }_B$. Soit $x\in A$. On a ${\phi }_A(x)=1$, d'où $1\le {\phi }_B(x)$. Comme ${\phi }_B(x)\in \{0,1\}$, on a nécessairement ${\phi }_B(x)=1$, ce qui montre que $x\in B$. Donc $A\subset B$.

2) $A=B⟺{\phi }_A={\phi }_B$ : Par double inclusion et en utilisant le point 1) : $$A=B⟺(A\subset B\text{ et }B\subset A)⟺({\phi }_A\le {\phi }_B\text{ et }{\phi }_B\le {\phi }_A)⟺{\phi }_A={\phi }_B$$

3) ${\phi }_A^2={\phi }_A$ : Pour tout $x\in E$, ${\phi }_A(x)\in \{0,1\}$. Puisque $0^2=0$ et $1^2=1$, on a toujours ${\phi }_A(x{)}^2={\phi }_A(x)$.

4) ${\phi }_{A\cap B}={\phi }_A{\phi }_B$ : Soit $x\in E$.

• Si $x\in A\cap B$, alors $x\in A$ et $x\in B$, donc ${\phi }_A(x)=1$ et ${\phi }_B(x)=1$. D'où ${\phi }_A(x){\phi }_B(x)=1={\phi }_{A\cap B}(x)$.
• Si $x\notin A\cap B$, alors $x\notin A$ ou $x\notin B$. Ainsi, au moins l'un des deux réels ${\phi }_A(x)$ ou ${\phi }_B(x)$ est nul. Leur produit est donc nul, ce qui correspond bien à ${\phi }_{A\cap B}(x)=0$.

5) ${\phi }_{{\complement }_E(A)}=1-{\phi }_A$ : Soit $x\in E$.

• Si $x\in A$, alors $x\notin {\complement }_E(A)$, donc ${\phi }_{{\complement }_E(A)}(x)=0=1-1=1-{\phi }_A(x)$.
• Si $x\notin A$, alors $x\in {\complement }_E(A)$, donc ${\phi }_{{\complement }_E(A)}(x)=1=1-0=1-{\phi }_A(x)$.

6) ${\phi }_{A\cup B}={\phi }_A+{\phi }_B-{\phi }_A{\phi }_B$ : En utilisant les formules de De Morgan et les points précédents : $$A\cup B={\complement }_E({\complement }_E(A)\cap {\complement }_E(B))$$ On a donc : $$\begin{array}{rl}{\phi }_{A\cup B}& =1-{\phi }_{{\complement }_E(A)\cap {\complement }_E(B)}=1-{\phi }_{{\complement }_E(A)}{\phi }_{{\complement }_E(B)}\\ & =1-(1-{\phi }_A)(1-{\phi }_B)\\ & =1-(1-{\phi }_A-{\phi }_B+{\phi }_A{\phi }_B)\\ & ={\phi }_A+{\phi }_B-{\phi }_A{\phi }_B\end{array}$$

7) ${\phi }_{A-B}={\phi }_A(1-{\phi }_B)$ : Puisque $A-B=A\cap {\complement }_E(B)$, on a par le point 4) et 5) : $${\phi }_{A-B}={\phi }_A{\phi }_{{\complement }_E(B)}={\phi }_A(1-{\phi }_B)$$

8) ${\phi }_{A\Delta B}={\phi }_A+{\phi }_B-2{\phi }_A{\phi }_B=({\phi }_A-{\phi }_B{)}^2=|{\phi }_A-{\phi }_B|$ : Comme $A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)$ (union disjointe), on a : $${\phi }_{A\Delta B}={\phi }_{A-B}+{\phi }_{B-A}-{\phi }_{A-B}{\phi }_{B-A}$$ Or $(A-B)\cap (B-A)=\varnothing$, d'où ${\phi }_{A-B}{\phi }_{B-A}=0$. Donc : $${\phi }_{A\Delta B}={\phi }_A(1-{\phi }_B)+{\phi }_B(1-{\phi }_A)={\phi }_A+{\phi }_B-2{\phi }_A{\phi }_B$$ Par ailleurs : $$({\phi }_A-{\phi }_B{)}^2={\phi }_A^2+{\phi }_B^2-2{\phi }_A{\phi }_B={\phi }_A+{\phi }_B-2{\phi }_A{\phi }_B(\text{car }{\phi }_A^2={\phi }_A,{\phi }_B^2={\phi }_B)$$ Enfin, pour tout $x\in E$, ${\phi }_A(x)-{\phi }_B(x)\in \{-1,0,1\}$. Le carré de tout élément de cet ensemble est égal à sa valeur absolue, d'où $({\phi }_A-{\phi }_B{)}^2=|{\phi }_A-{\phi }_B|$.