Majorants et bornes lus sur un diagramme

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · G. Relations binaires : équivalence et ordre

Énoncé

Soient $E = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $R$ la relation d'ordre définie dans $E$ par les couvertures ci-dessous (ni la réflexivité ni la transitivité n'y figurent, par convention), $A = {2, 3}$ , $B = {2, 4}$ , $C = {1, 2, 5}$ .

Le diagramme de Hasse de $R$ est donné par les couvertures suivantes — on lit « $a$ est immédiatement en dessous de $b$ » :

$1$ est en dessous de $2$ , de $3$ et de $4$ ;
$2$ , $3$ et $4$ sont chacun en dessous de $5$ .

Autrement dit : $1$ est le plus petit élément, $5$ le plus grand, et $2$ , $3$ , $4$ sont deux à deux incomparables.

Pour chacune des parties $A, B, C$ , étudier l'existence et la valeur éventuelle de l'ensemble de ses majorants dans $E$ , de l'ensemble de ses éléments maximaux, de sa borne supérieure, et de son plus grand élément.

Corrigé

D'après le diagramme de Hasse donné, l'ordre partiel $\leq$ sur $E = {1, 2, 3, 4, 5}$ est défini (par réflexivité et transitivité) par :

$1$ est le plus petit élément de $E$ : $\forall x \in E$ , $1 \leq x$ .
$5$ est le plus grand élément de $E$ : $\forall x \in E$ , $x \leq 5$ .
Les éléments $2, 3, 4$ sont deux à deux incomparables.

Étudions chaque partie :

1) Partie $A = {2, 3}$ :

Majorants : Un élément $y \in E$ est un majorant de $A$ si $2 \leq y$ et $3 \leq y$ . Les éléments $\geq 2$ sont ${2, 5}$ et les éléments $\geq 3$ sont ${3, 5}$ . L'intersection de ces deux ensembles est ${5}$ . L'ensemble des majorants de $A$ est donc ${5}$ .
Borne supérieure : C'est le plus petit élément de l'ensemble des majorants. Comme cet ensemble est le singleton ${5}$ , sa borne supérieure est $Sup (A) = 5$ .
Éléments maximaux : Un élément $x \in A$ est maximal dans $A$ s'il n'y a pas d'élément $y \in A$ tel que $x < y$ . Comme $2$ et $3$ sont incomparables dans $E$ , aucun n'est strictement supérieur à l'autre. Ainsi, $2$ et $3$ sont tous deux des éléments maximaux de $A$ . L'ensemble des éléments maximaux de $A$ est ${2, 3}$ .
Plus grand élément : Un plus grand élément de $A$ doit être un élément de $A$ qui majore tous les autres. Puisqu'il y a deux éléments maximaux distincts (ou puisque $2 \neq \leq 3$ et $3 \neq \leq 2$ ), $A$ n'admet pas de plus grand élément.

2) Partie $B = {2, 4}$ :

Majorants : De manière analogue, un majorant $y \in E$ doit vérifier $2 \leq y$ et $4 \leq y$ . L'intersection de ${2, 5}$ et ${4, 5}$ est ${5}$ . L'ensemble des majorants de $B$ est ${5}$ .
Borne supérieure : Comme pour $A$ , le plus petit des majorants est $5$ , donc $Sup (B) = 5$ .
Éléments maximaux : Les éléments $2$ et $4$ étant incomparables, ce sont tous deux des éléments maximaux de $B$ . L'ensemble des éléments maximaux de $B$ est ${2, 4}$ .
Plus grand élément : Par le même argument que pour $A$ , $B$ n'admet pas de plus grand élément.

3) Partie $C = {1, 2, 5}$ :

Majorants : Un majorant $y \in E$ doit vérifier $1 \leq y$ , $2 \leq y$ et $5 \leq y$ . Puisque $5$ est le plus grand élément de $E$ , le seul élément $\geq 5$ dans $E$ est $5$ . Comme $1 \leq 5$ et $2 \leq 5$ , $5$ majore bien $C$ . L'ensemble des majorants de $C$ est ${5}$ .
Borne supérieure : Le plus petit majorant de $C$ est $5$ , donc $Sup (C) = 5$ .
Éléments maximaux : Dans $C$ , on a les relations d'ordre strictes $1 < 2 < 5$ . Le seul élément de $C$ qui n'est surclassé par aucun autre élément de $C$ est $5$ . L'ensemble des éléments maximaux de $C$ est ${5}$ .
Plus grand élément : Puisque le majorant $5$ de $C$ appartient à $C$ , c'est le plus grand élément de $C$ . Le plus grand élément de $C$ est $5$ .

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