Majorants et bornes lus sur un diagramme

Soient $E=\{1,2,3,4,5\}$, $\mathcal{R}$ la relation d'ordre définie dans $E$ par les couvertures ci-dessous (ni la réflexivité ni la transitivité n'y figurent, par convention), $A=\{2,3\}$, $B=\{2,4\}$, $C=\{1,2,5\}$.

Le diagramme de Hasse de $\mathcal{R}$ est donné par les couvertures suivantes — on lit « $a$ est immédiatement en dessous de $b$ » :

• $1$ est en dessous de $2$, de $3$ et de $4$ ;
• $2$, $3$ et $4$ sont chacun en dessous de $5$.

Autrement dit : $1$ est le plus petit élément, $5$ le plus grand, et $2$, $3$, $4$ sont deux à deux incomparables.

Pour chacune des parties $A,B,C$, étudier l'existence et la valeur éventuelle de l'ensemble de ses majorants dans $E$, de l'ensemble de ses éléments maximaux, de sa borne supérieure, et de son plus grand élément.