Partition associée à une chaîne strictement croissante

Montrons que la famille $\{B_1,\dots ,B_n\}$ vérifie les trois propriétés d'une partition :

• Non-vacuité des parties : Pour tout $k\in \{1,\dots ,n\}$, on a $A_{k-1}⊊A_k$. Par définition d'une inclusion stricte, il existe un élément $x\in A_k$ tel que $x\notin A_{k-1}$. Cet élément appartient donc à $B_k=A_k-A_{k-1}$, ce qui montre que $B_k\ne \varnothing$.

• Disjonction deux à deux : Soient $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ distincts. On peut supposer sans perte de généralité que $i<j$. On a alors : $$B_i=A_i-A_{i-1}\subset A_i\subset A_{j-1}$$ car la suite des parties $(A_k{)}_{0\le k\le n}$ est croissante pour l'inclusion. De plus, $B_j=A_j-A_{j-1}\subset {\complement }_E(A_{j-1})$. Ainsi, $B_i\cap B_j\subset A_{j-1}\cap {\complement }_E(A_{j-1})=\varnothing$, d'où $B_i\cap B_j=\varnothing$.

• Réunion égale à $E$ : Exprimons la réunion des $B_k$ par télescopage : $$\bigcup _{k=1}^n{B}_k=\bigcup _{k=1}^n(A_k-A_{k-1})$$ Montrons par récurrence que pour tout $p\in \{1,\dots ,n\}$, ${\bigcup }_{k=1}^p{B}_k=A_p$.

• Pour $p=1$ : $B_1=A_1-A_0=A_1-\varnothing =A_1$, ce qui est vrai.
• Supposons la propriété vraie pour un certain $p<n$. On a : $$\bigcup _{k=1}^{p+1}{B}_k=\left(\bigcup _{k=1}^p{B}_k\right)\cup B_{p+1}=A_p\cup (A_{p+1}-A_p)$$ Puisque $A_p\subset A_{p+1}$, l'union $A_p\cup (A_{p+1}-A_p)$ est exactement égale à $A_{p+1}$. L'hérédité est prouvée.

Pour $p=n$, on obtient ${\bigcup }_{k=1}^n{B}_k=A_n=E$.

La famille $\{B_1,\dots ,B_n\}$ est donc une partition de $E$.