Partition associée à une chaîne strictement croissante

Montrons que la famille ${B_{1}, \dots, B_{n}}$ vérifie les trois propriétés d'une partition :

Non-vacuité des parties : Pour tout $k \in {1, \dots, n}$ , on a $A_{k - 1} ⊊ A_{k}$ . Par définition d'une inclusion stricte, il existe un élément $x \in A_{k}$ tel que $x \in / A_{k - 1}$ . Cet élément appartient donc à $B_{k} = A_{k} - A_{k - 1}$ , ce qui montre que $B_{k} \neq = \emptyset$ .

Disjonction deux à deux : Soient $i, j \in {1, \dots, n}$ distincts. On peut supposer sans perte de généralité que $i < j$ . On a alors : $B_{i} = A_{i} - A_{i - 1} \subset A_{i} \subset A_{j - 1}$ car la suite des parties $(A_{k})_{0 \leq k \leq n}$ est croissante pour l'inclusion. De plus, $B_{j} = A_{j} - A_{j - 1} \subset ∁_{E} (A_{j - 1})$ . Ainsi, $B_{i} \cap B_{j} \subset A_{j - 1} \cap ∁_{E} (A_{j - 1}) = \emptyset$ , d'où $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ .

Réunion égale à $E$ : Exprimons la réunion des $B_{k}$ par télescopage : $k = 1 ⋃ n B_{k} = k = 1 ⋃ n (A_{k} - A_{k - 1})$ Montrons par récurrence que pour tout $p \in {1, \dots, n}$ , $⋃_{k = 1}^{p} B_{k} = A_{p}$ .

Pour $p = 1$ : $B_{1} = A_{1} - A_{0} = A_{1} - \emptyset = A_{1}$ , ce qui est vrai.
Supposons la propriété vraie pour un certain $p < n$ . On a : $k = 1 ⋃ p + 1 B_{k} = (k = 1 ⋃ p B_{k}) \cup B_{p + 1} = A_{p} \cup (A_{p + 1} - A_{p})$ Puisque $A_{p} \subset A_{p + 1}$ , l'union $A_{p} \cup (A_{p + 1} - A_{p})$ est exactement égale à $A_{p + 1}$ . L'hérédité est prouvée.

Pour $p = n$ , on obtient $⋃_{k = 1}^{n} B_{k} = A_{n} = E$ .

La famille ${B_{1}, \dots, B_{n}}$ est donc une partition de $E$ .

Énoncé