Traduire avec des quantificateurs, puis nier : « f est croissante sur…

La règle. Nier une assertion quantifiée échange $\forall$ et $\exists$ et nie le cœur ; la négation de $P\Rightarrow Q$ est $P\wedge \neg Q$ — l'hypothèse tient, la conclusion tombe.

1) « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ». $$\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)$$ Négation : $$\exists (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,x\le y\text{ et }f(x)>f(y)$$ Nier « croissante » ne donne pas « décroissante » : il suffit d'un seul couple mal placé.

2) « $f$ est constante ». $$\exists c\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},f(x)=c$$ Négation : $$\forall c\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R},f(x)\ne c$$ que l'on préfère écrire, de façon équivalente et plus maniable : $$\exists (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,f(x)\ne f(y)$$

3) « $f$ n'est pas majorée ». Partons de « $f$ est majorée » : $\exists M\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},f(x)\le M$. Donc « $f$ n'est pas majorée » s'écrit : $$\forall M\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R},f(x)>M$$ et sa négation est bien sûr « $f$ est majorée ».

⚠️ L'ordre des quantificateurs n'est pas décoratif. $\forall M,\exists x$ laisse $x$ dépendre de $M$ ; $\exists x,\forall M$ exigerait un seul $x$ battant tous les majorants, ce qu'aucune fonction ne fait.

4) « $f$ s'annule au moins deux fois ». $$\exists (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,x\ne y\text{ et }f(x)=f(y)=0$$ Négation : $$\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,(f(x)=0\text{ et }f(y)=0)\Rightarrow x=y$$ c'est-à-dire : $f$ s'annule au plus une fois.

À retenir. Une assertion mathématique n'est vraiment comprise que lorsqu'on sait la nier : la négation est le test qui révèle si les quantificateurs ont été posés dans le bon ordre.