Image directe et réciproque

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques

Énoncé

Soit $f : E \to F$ une application, et $A, B$ deux sous-ensembles de $E$ . Montrer que $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ , puis donner un contre-exemple à l'inclusion réciproque.

Corrigé

Soit $y \in f (A \cap B)$ . Par définition, il existe $x \in A \cap B$ tel que $y = f (x)$ . Comme $x \in A \cap B$ , on a $x \in A$ et $x \in B$ .

Comme $x \in A$ , $y = f (x) \in f (A)$ .
Comme $x \in B$ , $y = f (x) \in f (B)$ .

Ainsi, $y \in f (A) \cap f (B)$ , d'où l'inclusion $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ .

Pour l'inclusion réciproque, considérons l'application constante $f : {1, 2} \to {3}$ définie par $f (1) = 3$ et $f (2) = 3$ . Soit $A = {1}$ et $B = {2}$ . On a $A \cap B = \emptyset$ , donc $f (A \cap B) = \emptyset$ . Cependant, $f (A) = {3}$ et $f (B) = {3}$ , donc $f (A) \cap f (B) = {3} \neq = \emptyset$ . L'inclusion réciproque est donc fausse en général.

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