Cardinal des classes d'une relation algébrique

Considérons la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(t)=\frac{t^3+2}{t^2+1}$. On remarque que pour tous $x,y\in \mathbb{R}$, la relation s'écrit : $$(x^3+2)(y^2+1)=(y^3+2)(x^2+1)⟺\frac{x^3+2}{x^2+1}=\frac{y^3+2}{y^2+1}⟺f(x)=f(y)$$

a) La relation $\mathcal{R}$ est définie comme la relation d'équivalence associée à la fonction $f$. Vérifions-le formellement :

• Réflexivité : Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=f(x)$, donc $x\mathcal{R}x$.
• Symétrie : Si $x\mathcal{R}y$, alors $f(x)=f(y)$, donc $f(y)=f(x)$, soit $y\mathcal{R}x$.
• Transitivité : Si $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$, alors $f(x)=f(y)$ et $f(y)=f(z)$, donc $f(x)=f(z)$, soit $x\mathcal{R}z$.

Ainsi, $\mathcal{R}$ est bien une relation d'équivalence.

b) Le nombre d'éléments de la classe d'équivalence ${\text{cl}}_{\mathcal{R}}(x)$ est égal au nombre de solutions réelles $y$ de l'équation $f(y)=f(x)$. Étudions la fonction $f$ pour connaître son nombre d'antécédents. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas. Pour tout $t\in \mathbb{R}$ : $$f^{\prime }(t)=\frac{3t^2(t^2+1)-(t^3+2)(2t)}{(t^2+1{)}^2}=\frac{3t^4+3t^2-2t^4-4t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{t(t^3+3t-4)}{(t^2+1{)}^2}$$ Remarquons que $1$ est racine évidente de $t^3+3t-4$. En factorisant par $(t-1)$, on obtient : $$t^3+3t-4=(t-1)(t^2+t+4)$$ Le discriminant de $t^2+t+4$ est $\Delta =1-16=-15<0$, donc ce facteur est toujours strictement positif. Ainsi, $f^{\prime }(t)$ est du signe de $t(t-1)$. On en déduit les variations de $f$ :

• $f^{\prime }(t)>0$ sur $]-\infty ,0[\cup ]1,+\infty [$ : $f$ y est strictement croissante.
• $f^{\prime }(t)<0$ sur $]0,1[$ : $f$ y est strictement décroissante.

Calculons les limites et les extremums locaux :

• ${\lim }_{t\to -\infty }f(t)=-\infty$ et ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=+\infty$.
• Maximum local en $0$ de valeur $f(0)=2$.
• Minimum local en $1$ de valeur $f(1)=3/2=1.5$.

Cherchons les abscisses des points où $f$ reprend les valeurs $2$ et $1.5$ :

• $f(t)=2⟺t^3+2=2t^2+2⟺t^2(t-2)=0⟺t=0$ ou $t=2$.
• $f(t)=1.5=3/2⟺2t^3+4=3t^2+3⟺2t^3-3t^2+1=0$. Puisque $1$ est racine double de cette équation (car maximum/minimum local), on factorise par $(t-1{)}^2$ : $2t^3-3t^2+1=(t-1{)}^2(2t+1)=0⟺t=1$ ou $t=-1/2$.

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de monotonie, on en déduit le nombre de solutions de $f(y)=f(x)$ :

• Si $f(x)\in ]1.5,2[$, ce qui correspond à $x\in ]-1/2,0[\cup ]0,1[\cup ]1,2[$, l'équation $f(y)=f(x)$ possède exactement $3$ solutions. La classe ${\text{cl}}_{\mathcal{R}}(x)$ contient $3$ éléments.
• Si $f(x)\in \{1.5,2\}$, ce qui correspond à $x\in \{-1/2,0,1,2\}$, l'équation possède $2$ solutions. La classe ${\text{cl}}_{\mathcal{R}}(x)$ contient $2$ éléments.
• Si $f(x)\in ]-\infty ,1.5[\cup ]2,+\infty [$, ce qui correspond à $x\in ]-\infty ,-1/2[\cup ]2,+\infty [$, l'équation possède $1$ unique solution. La classe ${\text{cl}}_{\mathcal{R}}(x)$ contient $1$ seul élément (l'élément $x$ lui-même).