Union et intersection d'une famille d'intervalles

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , on pose $A_{n} = [\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}]$ . Déterminer $⋃_{n \geq 1} A_{n}$ et $⋂_{n \geq 1} A_{n}$ .

Corrigé

Union : les intervalles s'aboutent ( $A_{1} = [1/2, 1]$ , $A_{2} = [1/3, 1/2]$ , …). Pour tout $x \in] 0, 1]$ , il existe (propriété archimédienne) un $n$ tel que $\frac{1}{n + 1} \leq x \leq \frac{1}{n}$ , donc $x \in A_{n}$ . De plus $0 \in / A_{n}$ car $\frac{1}{n + 1} > 0$ . Ainsi $⋃_{n \geq 1} A_{n} =] 0, 1]$ .

Intersection : soit $x$ commun à tous les $A_{n}$ . Si $x \leq 0$ , $x \in / A_{n}$ (borne inférieure $> 0$ ). Si $x > 0$ , pour $n > \frac{1}{x}$ on a $\frac{1}{n} < x$ , donc $x \in / A_{n}$ . Aucun réel n'est commun : $⋂_{n \geq 1} A_{n} = \emptyset$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.