Union et intersection d'une famille d'intervalles

Union : les intervalles s'aboutent ($A_1=[1/2,1]$, $A_2=[1/3,1/2]$, …). Pour tout $x\in ]0,1]$, il existe (propriété archimédienne) un $n$ tel que $\frac{1}{n+1}\le x\le \frac{1}{n}$, donc $x\in A_n$. De plus $0\notin A_n$ car $\frac{1}{n+1}>0$. Ainsi ${\bigcup }_{n\ge 1}{A}_n=]0,1]$.

Intersection : soit $x$ commun à tous les $A_n$. Si $x\le 0$, $x\notin A_n$ (borne inférieure $>0$). Si $x>0$, pour $n>\frac{1}{x}$ on a $\frac{1}{n}<x$, donc $x\notin A_n$. Aucun réel n'est commun : ${\bigcap }_{n\ge 1}{A}_n=\varnothing$.