Quatre équations dans $\mathcal{P}(E)$

Dans les quatre cas, la méthode est la même : on cherche d'abord une condition nécessaire portant sur $A$ et $B$ (sans quoi il n'y a aucune solution), puis on décrit l'ensemble de toutes les solutions, et l'on vérifie qu'elles conviennent.

a) $X\cup A=B$.

Condition d'existence. Si $X$ est solution, alors $A\subset X\cup A=B$. Donc si $A\not\subset B$, il n'y a pas de solution. Supposons désormais $A\subset B$.

Analyse. Soit $X$ une solution. D'une part $X\subset X\cup A=B$. D'autre part, soit $y\in B\setminus A$ : comme $y\in B=X\cup A$ et $y\notin A$, on a $y\in X$. Donc $$B\setminus A\subset X\subset B.$$

Synthèse. Réciproquement, soit $X$ tel que $B\setminus A\subset X\subset B$. Alors $X\cup A\subset B\cup A=B$ ; et comme $B=(B\setminus A)\cup (B\cap A)\subset X\cup A$, on a l'égalité.

$${\mathcal{S}}_a=\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\setminus A\subset X\subset B\}\text{si }A\subset B,\text{ vide sinon.}$$ La plus petite solution est $B\setminus A$, la plus grande est $B$.

b) $X\cap A=B$.

Condition d'existence. Si $X$ est solution, $B=X\cap A\subset A$. Donc si $B\not\subset A$, pas de solution. Supposons $B\subset A$.

Analyse. Soit $X$ une solution. Alors $B=X\cap A\subset X$. Et si $x\in X$ : ou bien $x\in A$, et alors $x\in X\cap A=B$ ; ou bien $x\in {\complement }_{E}A$. Donc $$B\subset X\subset B\cup {\complement }_{E}A.$$

Synthèse. Si $B\subset X\subset B\cup {\complement }_{E}A$, alors $X\cap A\subset (B\cap A)\cup ({\complement }_{E}A\cap A)=B\cap A=B$ (car $B\subset A$) ; et $B=B\cap A\subset X\cap A$. Égalité.

$${\mathcal{S}}_b=\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\subset X\subset B\cup {\complement }_{E}A\}\text{si }B\subset A,\text{ vide sinon.}$$

c) $X\setminus A=B$.

Il n'y a rien de neuf à faire : $X\setminus A=X\cap {\complement }_{E}A$, et l'équation s'écrit $X\cap {\complement }_{E}A=B$. C'est exactement l'équation b) où $A$ est remplacé par ${\complement }_{E}A$. La condition devient $B\subset {\complement }_{E}A$, c'est-à-dire $A\cap B=\varnothing$, et l'ensemble des solutions $B\subset X\subset B\cup {\complement }_E({\complement }_{E}A)$ : $${\mathcal{S}}_c=\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\subset X\subset B\cup A\}\text{si }A\cap B=\varnothing ,\text{ vide sinon.}$$

d) $X\Delta A=B$.

Ici le comportement change du tout au tout : il y a toujours une solution, et elle est unique.

La différence symétrique est associative, admet $\varnothing$ pour élément neutre, et chaque partie est son propre symétrique : $A\Delta A=\varnothing$. Tout cela se lit sur les fonctions indicatrices : $1_{X\Delta Y}=1_X+1_Y-21_X{1}_Y$, ce qui est l'addition modulo $2$ des indicatrices, et l'addition modulo $2$ est associative, de neutre $0$, où chaque élément est son propre opposé. En composant l'équation par $A$ : $$X\Delta A=B⟹(X\Delta A)\Delta A=B\Delta A⟹X\Delta (A\Delta A)=B\Delta A⟹X=B\Delta A,$$ et réciproquement $(B\Delta A)\Delta A=B\Delta \varnothing =B$. D'où $${\mathcal{S}}_d=\{A\Delta B\}.$$

Ce que la comparaison révèle. Les trois premières équations ont pour ensemble de solutions un intervalle de $\mathcal{P}(E)$ — parfois vide, jamais réduit à un point en général : $\cup$ et $\cap$ perdent de l'information et ne s'inversent pas. La quatrième a exactement une solution parce que la différence symétrique se comporte comme une addition où l'on peut toujours « passer de l'autre côté » : là où il y a une loi de ce type, une équation du premier degré a une solution et une seule. Ce sera, au chapitre sur les structures, la définition d'un groupe.