Probabilités

Cours complet · mathématiques (seconde), chapitre 12 · seconde générale

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Les probabilités mathématisent le hasard. On insiste en seconde sur un point : une loi de probabilité (par exemple l'équiprobabilité) est une hypothèse du modèle choisi — elle ne se démontre pas. Le modèle peut reposer sur une symétrie supposée (pièce ou dé équilibrés, tirage au sort) ou sur des fréquences observées (loi des grands nombres). Dans tous les cas, on distingue le modèle abstrait de la situation réelle. Ce chapitre introduit la probabilité conditionnelle et les arbres de probabilité.

12.1 Modèle probabiliste et loi des grands nombres

Définition 12.1Vocabulaire

L'ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire est l'univers $Ω$ .
Un événement est une partie de $Ω$ . L'événement contraire de $A$ est $A ˉ$ .
$A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .

Définition 12.2Loi de probabilité, équiprobabilité

Définir une loi de probabilité sur $Ω$ , c'est associer à chaque issue un réel positif, sa probabilité, la somme de ces réels valant $1$ . La probabilité d'un événement $A$ est alors la somme des probabilités des issues qui le composent ; c'est un réel de $[0; 1]$ , et $P (Ω) = 1$ .

Cas particulier : lorsque toutes les issues ont la même probabilité, il y a équiprobabilité, et

$P (A) = \frac{Card ( A )}{Card ( Ω )} = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues possibles} .$

ImportantUnion et contraire

$P (A ˉ) = 1 - P (A), P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Exemple 12.3

On tire une carte d'un jeu de $32$ ( $Ω$ : $32$ issues équiprobables). Soit $R$ « un roi » et $C$ « un cœur » : $P (R) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ , $P (C) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ , $P (R \cap C) = \frac{1}{32}$ , d'où $P (R \cup C) = \frac{4 + 8 - 1}{32} = \frac{11}{32}$ .

Le diagramme montre pourquoi on retranche $P (R \cap C)$ : en additionnant $4 + 8$ , la case commune (le roi de cœur) est comptée deux fois.

Proposition 12.4Loi des grands nombres (version vulgarisée)

Lorsqu'on répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement fluctue d'un échantillon à l'autre (fluctuation d'échantillonnage). Mais lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. On peut ainsi estimer une probabilité inconnue par une fréquence sur un grand échantillon.


import random

def frequence_pile(n):
    # Fréquence de "pile" sur n lancers d'une pièce équilibrée
    piles = 0
    for i in range(n):
        if random.randint(0, 1) == 0:   # 0 = pile
            piles = piles + 1
    return piles / n
# Quand n grandit, frequence_pile(n) se rapproche de 0,5.

12.2 Probabilités et statistiques : le tirage au sort

Une population statistique s'étudie d'un point de vue probabiliste en tirant au sort un individu avec équiprobabilité : chaque sous-population devient un événement. On relie alors les deux vocabulaires :

$P (A) = \frac{Card ( A )}{Card ( Ω )} (proportion), P_{B} (A) = \frac{Card ( A \cap B )}{Card ( B )} (fr e ˊ quence conditionnelle),$

où la seconde formule suppose $Card (B) \neq = 0$ . La notation $P_{B} (A)$ se lit « probabilité de $A$ sachant $B$ » : elle est définie plus loin dans ce chapitre (section Probabilité conditionnelle), et l'on se contente ici de la lire sur un tableau croisé.

Exemple 12.5

On interroge $200$ personnes (tableau croisé, chapitre 11).

	Sportif ( $S$ )	Non sportif ( $S ˉ$ )	Total
Femme ( $F$ )	$60$	$50$	$110$
Homme ( $F ˉ$ )	$54$	$36$	$90$
Total	$114$	$86$	$200$

On choisit une personne au hasard : $P (S) = \frac{114}{200} = 0, 57$ , $P (F \cap S) = \frac{60}{200} = 0, 30$ , et $P_{F} (S) = \frac{60}{110} = \frac{6}{11} \approx 0, 545$ (proportion de sportives parmi les femmes).

12.3 Probabilité conditionnelle

Définition 12.6Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P (A) > 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}, d’o u ˋ P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$

iRemarqueDistinguer

P_{A} (B)

P_{B} (A)

Ces deux nombres répondent à des questions différentes : $P_{A} (B)$ suppose $A$ réalisé, $P_{B} (A)$ suppose $B$ réalisé. Sur l'exemple précédent, $P_{F} (S) = \frac{60}{110} \approx 0, 545$ (sportives parmi les femmes) n'est pas $P_{S} (F) = \frac{60}{114} \approx 0, 526$ (femmes parmi les sportifs). Confondre les deux est une erreur classique — c'est l'inversion des conditionnements.

12.4 Arbres de probabilité

ImportantLire un arbre pondéré

Loi des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
Loi des chemins : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; c'est exactement la relation $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .
La probabilité d'un événement du second niveau est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

iRemarque

Les pondérations des branches sont des probabilités conditionnelles : sur une branche partant de $A$ , on lit $P_{A} (B)$ (et non $P (B)$ ). Le produit le long d'un chemin traduit la définition même de la probabilité conditionnelle.

12.5 Inversion des conditionnements : tests diagnostiques

Un test diagnostique illustre la différence entre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ .

Définition 12.7Vocabulaire des tests

Pour une maladie $M$ et un test positif $T$ :

la sensibilité est $P_{M} (T)$ (le test détecte les malades) ;
la spécificité est $P_{M ˉ} (T ˉ)$ (le test disculpe les sains) ;
un faux positif est un individu sain testé positif ; un faux négatif, un malade testé négatif.

Exemple 12.8

Une maladie touche $2 %$ d'une population. Le test a une sensibilité $P_{M} (T) = 0, 98$ et une spécificité $P_{M ˉ} (T ˉ) = 0, 95$ (donc $P_{M ˉ} (T) = 0, 05$ ).

On calcule $P (M \cap T) = 0, 02 \times 0, 98 = 0, 0196$ et $P (M ˉ \cap T) = 0, 98 \times 0, 05 = 0, 049$ , d'où $P (T) = 0, 0686$ (somme des chemins menant à $T$ ). Alors

$P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0196}{0 , 0686} \approx 0, 286.$

La sensibilité vaut $98 %$ , mais un test positif ne signifie « malade » que dans $\approx 28, 6 %$ des cas : $P_{M} (T)$ et $P_{T} (M)$ sont très différents, à cause de la rareté de la maladie.

iRemarqueSans formule : le tableau d'effectifs

La lecture « somme des chemins » utilisée ci-dessus (formule des probabilités totales) n'est pas un attendu du programme de Seconde. On peut aboutir au même résultat par un simple comptage : imaginons une population de $10000$ personnes.

	Test positif $T$	Test négatif $T ˉ$	Total
Malades $M$	$196$	$4$	$200$
Sains $M ˉ$	$490$	$9310$	$9800$
Total	$686$	$9314$	$10000$

Sur $10000$ personnes : $200$ malades ( $2 %$ ), dont $196$ testés positifs ( $98 %$ de sensibilité) ; $9800$ sains, dont $490$ testés positifs ( $5 %$ ). Parmi les $686$ tests positifs, seuls $196$ sont malades :

$P_{T} (M) = \frac{196}{686} \approx 0, 286,$

le même résultat qu'avec l'arbre — les faux positifs ( $490$ ) sont plus nombreux que les vrais ( $196$ ) car la maladie est rare.

12.6 Un peu d'histoire

iRemarqueLa mathématisation du hasard

Le calcul des probabilités naît au XVII^e siècle du problème des partis (comment partager la mise d'un jeu interrompu), posé par le chevalier de Méré : l'échange de lettres entre Pascal et Fermat, prolongé par Huygens, en jette les bases. Les probabilités conditionnelles apparaissent ensuite dans les travaux de Bayes et de de Moivre au XVIII^e siècle, avant que Laplace n'en élabore la notion. Omniprésentes dans la vie courante, elles conduisent facilement, mal utilisées, à de fausses affirmations.

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