Raisonnement par Récurrence et Suites

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 1 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce premier chapitre pose les bases de l'analyse en Terminale. Nous allons étudier un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, puis nous l'appliquerons à l'étude des limites de suites et de leur convergence.

1.1 Le Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P (n)$ , dépendant d'un entier naturel $n$ , est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Définition 1.1Principe de récurrence

Soit $n_{0} \in N$ et $P (n)$ une propriété définie pour tout entier $n \geq n_{0}$ . Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Initialisation : La propriété est vraie au rang initial $n_{0}$ , c'est-à-dire que $P (n_{0})$ est vraie.
Hérédité : Pour tout entier $k \geq n_{0}$ , si la propriété est vraie à un rang $k$ (hypothèse de récurrence), alors elle est vraie au rang suivant $k + 1$ .

Alors, la propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Méthode : Rédiger une récurrence

Pour rédiger une démonstration par récurrence, on suit rigoureusement trois étapes :

Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le premier rang $n = n_{0}$ .
Hérédité : On pose l'hypothèse de récurrence : « Supposons que pour un entier $k \geq n_{0}$ , la propriété $P (k)$ soit vraie. » On cherche ensuite à prouver sous cette hypothèse que la propriété $P (k + 1)$ est vraie.
Conclusion : On conclut : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

L'image des dominos rend le mécanisme évident. Faire tomber le premier domino ne suffit pas si les suivants sont trop espacés ; et régler parfaitement l'espacement ne sert à rien si personne ne pousse le premier. Il faut les deux conditions — et alors toute la rangée tombe, si longue soit-elle.

Exemple 1.2Somme des premiers entiers

Montrons par récurrence que pour tout $n \geq 1$ :

$S_{n} = i = 1 \sum n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Initialisation : Pour $n = 1$ , $S_{1} = 1$ et $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier $k \geq 1$ : $S_{k} = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ . Montrons qu'elle est vraie pour $k + 1$ :

$S_{k + 1} = S_{k} + (k + 1) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = (k + 1) (\frac{k}{2} + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$

L'hérédité est prouvée.

Conclusion : Pour tout $n \geq 1$ , $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

La récurrence démontre la formule, mais un dessin explique d'où sort le $2$ du dénominateur : deux exemplaires de l'escalier $1 + 2 + \dots + n$ s'emboîtent exactement dans un rectangle de $n$ colonnes sur $n + 1$ lignes.

1.2 Limites de Suites

1.2.1 Limite infinie

Définition 1.3Limite

+ \infty

- \infty

On dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ (où $A \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$

De même, on dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $- \infty$ si tout intervalle de la forme $] - \infty, B [$ (où $B \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Le point délicat de cette définition est le mot « tout ». Il ne suffit pas que la suite dépasse une barre : elle doit franchir n'importe quelle barre, aussi haute soit-elle, et rester au-dessus ensuite.

1.2.2 Limite finie et convergence

Définition 1.4Suite convergente

On dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite le réel $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite $(u_{n})$ est convergente vers $L$ et on note :

$n \to + \infty lim u_{n} = L$

Une suite qui ne converge pas vers une limite finie est dite divergente.

Graphiquement : quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie autour de $L$ , tous les points $(n, u_{n})$ finissent par entrer dans la bande et n'en sortent plus.

iRemarque

Unicité : si une suite converge, sa limite est unique.
Une suite divergente n'a pas nécessairement une limite infinie : la suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui prend alternativement les valeurs $1$ et $- 1$ , ne converge vers aucun réel et ne tend ni vers $+ \infty$ ni vers $- \infty$ : elle n'admet pas de limite.

1.2.3 Opérations sur les limites

Les théorèmes suivants, admis, permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites. Dans les tableaux, $L$ et $L^{'}$ désignent des réels, et « F.I. » signale une forme indéterminée : le tableau ne permet pas de conclure, il faut transformer l'expression.

Proposition 1.5Limite d'une somme

$lim u_{n}$	$L$	$L$	$L$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
$lim v_{n}$	$L^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$lim (u_{n} + v_{n})$	$L + L^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	F.I.

Proposition 1.6Limite d'un produit

$lim u_{n}$	$L$	$L \neq = 0$	$\pm \infty$	$0$
$lim v_{n}$	$L^{'}$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$
$lim (u_{n} \times v_{n})$	$L \times L^{'}$	$\pm \infty$ (règle des signes)	$\pm \infty$ (règle des signes)	F.I.

Proposition 1.7Limite d'un quotient

$lim u_{n}$	$L$	$L$	$\pm \infty$	$0$	$\pm \infty$
$lim v_{n}$	$L^{'} \neq = 0$	$\pm \infty$	$L^{'}$	$0$	$\pm \infty$
$lim \frac{u _{n}}{v _{n}}$	$\frac{L}{L ^{'}}$	$0$	$\pm \infty$ (signes)	F.I.	F.I.

Si $lim u_{n} = L \neq = 0$ (ou $\pm \infty$ ) et $lim v_{n} = 0$ avec $v_{n}$ de signe constant à partir d'un certain rang, alors $lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \pm \infty$ (règle des signes).

Méthode : Les quatre formes indéterminées

Les quatre situations « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{0}{0}$ » et « $\frac{\infty}{\infty}$ » exigent une transformation de l'expression avant de conclure. Les techniques usuelles :

factoriser par le terme prépondérant (plus haut degré) ;
utiliser l'expression conjuguée en présence de racines carrées ;
encadrer et appliquer un théorème de comparaison.

L'étude des suites géométriques repose sur une inégalité démontrée par récurrence : l'inégalité de Bernoulli.

Proposition 1.8Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ :

$(1 + a)^{n} \geq 1 + na$

Démonstration ((exigible) — par récurrence)

Soit $a > 0$ fixé et $P (n)$ la propriété : $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , $(1 + a)^{0} = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ . Donc $P (0)$ est vraie.
Hérédité : supposons $P (k)$ vraie pour un entier $k \geq 0$ : $(1 + a)^{k} \geq 1 + k a$ . En multipliant les deux membres par $(1 + a) > 0$ :

$(1 + a)^{k + 1} \geq (1 + k a) (1 + a) = 1 + (k + 1) a + k a^{2} \geq 1 + (k + 1) a$

car $k a^{2} \geq 0$ . Donc $P (k + 1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout $n \in N$ , $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ .

Cette inégalité, un peu sèche, dit une chose très visuelle : une croissance à taux constant (multiplier par $1 + a$ à chaque étape) laisse toujours sur place une croissance à pas constant (ajouter $a$ à chaque étape). C'est le moteur de tout le reste du chapitre.

Proposition 1.9Limites des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel et la suite géométrique $u_{n} = q^{n}$ .

Si $q > 1$ , alors $lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ .
Si $- 1 < q < 1$ , alors la suite $(q^{n})$ converge vers $0$ .
Si $q = 1$ , la suite est constante et converge vers $1$ .
Si $q \leq - 1$ , la suite $(q^{n})$ n'admet pas de limite.

Démonstration ((exigible) — cas

q > 1

)

Posons $a = q - 1 > 0$ , de sorte que $q = 1 + a$ . D'après l'inégalité de Bernoulli :

$q^{n} = (1 + a)^{n} \geq 1 + na$

Or $lim_{n \to + \infty} (1 + na) = + \infty$ car $a > 0$ . Par le théorème de comparaison (voir section suivante), on conclut :

$n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$

Cas $- 1 < q < 1$ , $q \neq = 0$ : on pose $Q = \frac{1}{∣ q ∣} > 1$ . D'après le cas précédent, $Q^{n} \to + \infty$ , donc $∣ q ∣^{n} = \frac{1}{Q ^{n}} \to 0$ , et comme $- ∣ q ∣^{n} \leq q^{n} \leq ∣ q ∣^{n}$ , le théorème des gendarmes donne $q^{n} \to 0$ .

1.3 Théorèmes de Convergence

1.3.1 Théorèmes de comparaison

◆Théorème 1.10Théorème des Gendarmes

Soit $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites. Supposons qu'à partir d'un certain rang :

$u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$

Si $lim_{n \to + \infty} u_{n} = lim_{n \to + \infty} w_{n} = L$ (avec $L \in R$ ), alors la suite $(v_{n})$ converge et sa limite est $L$ .

La suite $(v_{n})$ , « coincée » entre les deux gendarmes $(u_{n})$ et $(w_{n})$ qui convergent vers la même limite, est forcée de converger elle aussi vers $L$ :

◆Théorème 1.11Théorèmes de comparaison pour l'infini

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites. Supposons qu'à partir d'un certain rang $u_{n} \leq v_{n}$ .

Si $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ , alors $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ .
Si $lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ , alors $lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Démonstration ((exigible) — premier point)

Soit $A$ un réel quelconque. Comme $lim u_{n} = + \infty$ , l'intervalle $] A, + \infty [$ contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang $N_{1}$ : pour tout $n \geq N_{1}$ , $u_{n} > A$ . Par ailleurs, il existe un rang $N_{2}$ à partir duquel $u_{n} \leq v_{n}$ . Alors, pour tout $n \geq max (N_{1}, N_{2})$ :

$v_{n} \geq u_{n} > A$

Ainsi, tout intervalle $] A, + \infty [$ contient tous les termes $v_{n}$ à partir d'un certain rang : par définition, $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ .

1.3.2 Convergence des suites monotones

Définition 1.12Suite majorée, minorée, bornée

Une suite $(u_{n})$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq M$ .
Une suite $(u_{n})$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \geq m$ .
Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Être bornée n'entraîne pas la convergence (la figure ci-dessus en donne un contre-exemple, tout comme $(- 1)^{n}$ ). En revanche, ajoutée à la monotonie, elle la garantit : c'est tout l'objet du théorème suivant.

◆Théorème 1.13Théorème de convergence monotone (admis)

Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

iRemarque

La limite $L$ d'une suite croissante majorée n'est pas, en général, égale au majorant $M$ utilisé : on sait seulement que $L \leq M$ . Le théorème garantit l'existence de la limite mais n'en donne pas la valeur : pour la déterminer, on utilise d'autres outils (limite d'une expression explicite de $u_{n}$ , point fixe, etc.).

Que se passe-t-il si une suite croissante n'est pas majorée ? Elle ne peut que « monter vers l'infini » :

◆Théorème 1.14Suite croissante non majorée

Toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ .

Démonstration ((exigible))

Soit $(u_{n})$ une suite croissante non majorée et $A$ un réel quelconque. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe donc un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ . Comme $(u_{n})$ est croissante, pour tout $n \geq N$ :

$u_{n} \geq u_{N} > A$

Ainsi, tout intervalle $] A, + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir du rang $N$ : par définition, $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

iRemarque

Une suite croissante a donc toujours un comportement déterminé : soit elle est majorée et elle converge, soit elle ne l'est pas et elle tend vers $+ \infty$ . De même, une suite décroissante converge ou tend vers $- \infty$ .

Exemple 1.15Suite définie par

u_{n + 1} = f (u_{n})

Soit la suite définie par $u_{0} = 0$ et pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . La fonction associée est $f (x) = x + 2$ . On peut étudier graphiquement la convergence de cette suite grâce à la méthode de la toile d'araignée (cobweb plot).

Cette suite est croissante, majorée par 2, et converge vers son point fixe unique $α = 2$ sur $[0, + \infty [$ .

1.4 Algorithmique et Programmation

L'algorithmique permet d'estimer des valeurs limites ou des seuils à partir desquels une suite dépasse une certaine valeur.


def seuil(A):
    # Cette fonction cherche le plus petit entier n tel que u_n > A
    # Pour la suite u_n = 2^n / n
    n = 1
    u = 2
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = (2**n) / n
    return n

Recherche de seuil en Python

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