Raisonnement par Récurrence et Suites

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Diagramme en toile d'une suite récurrente qui converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de la droite y = x.

Ce premier chapitre pose les bases de l'analyse en Terminale. Nous allons étudier un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, puis nous l'appliquerons à l'étude des limites de suites et de leur convergence.

1.1 Le Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P (n)$ , dépendant d'un entier naturel $n$ , est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Définition 1.1Principe de récurrence

Soit $n_{0} \in N$ et $P (n)$ une propriété définie pour tout entier $n \geq n_{0}$ . Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Initialisation : La propriété est vraie au rang initial $n_{0}$ , c'est-à-dire que $P (n_{0})$ est vraie.
Hérédité : Pour tout entier $k \geq n_{0}$ , si la propriété est vraie à un rang $k$ (hypothèse de récurrence), alors elle est vraie au rang suivant $k + 1$ .

Alors, la propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Méthode : Rédiger une récurrence

Pour rédiger une démonstration par récurrence, on suit rigoureusement trois étapes :

Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le premier rang $n = n_{0}$ .
Hérédité : On pose l'hypothèse de récurrence : « Supposons que pour un entier $k \geq n_{0}$ , la propriété $P (k)$ soit vraie. » On cherche ensuite à prouver sous cette hypothèse que la propriété $P (k + 1)$ est vraie.
Conclusion : On conclut : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

L'image des dominos rend le mécanisme évident. Faire tomber le premier domino ne suffit pas si les suivants sont trop espacés ; et régler parfaitement l'espacement ne sert à rien si personne ne pousse le premier. Il faut les deux conditions — et alors toute la rangée tombe, si longue soit-elle.

Exemple 1.2Somme des premiers entiers

Montrons par récurrence que pour tout $n \geq 1$ :

$S_{n} = i = 1 \sum n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Initialisation : Pour $n = 1$ , $S_{1} = 1$ et $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier $k \geq 1$ : $S_{k} = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ . Montrons qu'elle est vraie pour $k + 1$ :

$S_{k + 1} = S_{k} + (k + 1) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = (k + 1) (\frac{k}{2} + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$

L'hérédité est prouvée.

Conclusion : Pour tout $n \geq 1$ , $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

La récurrence démontre la formule, mais un dessin explique d'où sort le $2$ du dénominateur : deux exemplaires de l'escalier $1 + 2 + \dots + n$ s'emboîtent exactement dans un rectangle de $n$ colonnes sur $n + 1$ lignes.

1.2 Limites de Suites

1.2.1 Limite infinie

Définition 1.3Limite

+ \infty

- \infty

On dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ (où $A \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$

De même, on dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $- \infty$ si tout intervalle de la forme $] - \infty, B [$ (où $B \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Le point délicat de cette définition est le mot « tout ». Il ne suffit pas que la suite dépasse une barre : elle doit franchir n'importe quelle barre, aussi haute soit-elle, et rester au-dessus ensuite.

1.2.2 Limite finie et convergence

Définition 1.4Suite convergente

On dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite le réel $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite $(u_{n})$ est convergente vers $L$ et on note :

$n \to + \infty lim u_{n} = L$

Une suite qui ne converge pas vers une limite finie est dite divergente.

Graphiquement : quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie autour de $L$ , tous les points $(n, u_{n})$ finissent par entrer dans la bande et n'en sortent plus.

iRemarque

Unicité : si une suite converge, sa limite est unique.
Une suite divergente n'a pas nécessairement une limite infinie : la suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui prend alternativement les valeurs $1$ et $- 1$ , ne converge vers aucun réel et ne tend ni vers $+ \infty$ ni vers $- \infty$ : elle n'admet pas de limite.

1.2.3 Opérations sur les limites

Les théorèmes suivants, admis, permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites. Dans les tableaux, $L$ et $L^{'}$ désignent des réels, et « F.I. » signale une forme indéterminée : le tableau ne permet pas de conclure, il faut transformer l'expression.

Exercices du chapitre

Limite de somme par encadrement corrigé
Limite avec expressions conjuguées corrigé
Somme des termes d'une suite géométrique corrigé
Divisibilité et récurrence corrigé
Recherche analytique de seuil corrigé
Problème — Suite d'équations implicites corrigé

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