Limites et Continuité des fonctions

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Une courbe et ses deux asymptotes : verticale en 0, horizontale y = ℓ.

Ce chapitre aborde l'étude des limites de fonctions aux bornes de leur ensemble de définition, l'étude de la continuité sur un intervalle, et l'application majeure qu'est le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

2.1 Limites de Fonctions

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction $f$ lorsque sa variable $x$ devient très grande (positivement ou négativement) ou s'approche d'une valeur interdite.

2.1.1 Limites à l'infini et asymptotes horizontales

Définition 2.1Limite finie à l'infini

Soit $L \in R$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle $] a, + \infty [$ . On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = L$

Géométriquement, la droite d'équation $y = L$ est appelée asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ . Une définition analogue s'applique en $- \infty$ .

Définition 2.2Limite infinie à l'infini

On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $+ \infty$ si, pour tout réel $M > 0$ , on a $f (x) > M$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

Il n'y a que trois issues possibles quand $x$ part vers $+ \infty$ : ou bien la courbe se plaque contre une droite horizontale, ou bien elle s'échappe vers le haut (ou le bas), ou bien elle continue d'osciller sans jamais se fixer — et dans ce dernier cas, il n'y a pas de limite.

2.1.2 Limites en un réel $a$ et asymptotes verticales

Définition 2.3Limite finie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ ou dont $a$ est une borne, et $L \in R$ . On dit que $f (x)$ tend vers $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi proche que l'on veut de $L$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

$x \to a lim f (x) = L$

iRemarqueLimites à gauche et à droite

Il arrive que le comportement de $f$ diffère selon que $x$ s'approche de $a$ par valeurs inférieures ou supérieures. On parle alors de limite à gauche, notée $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ , et de limite à droite, notée $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ . La limite en $a$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

L'exemple de référence est la fonction inverse en $0$ : les deux côtés partent à l'infini, mais dans des directions opposées. Il n'y a donc pas de limite en $0$ , même si chacune des deux limites latérales existe.

Définition 2.4Limite infinie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dont $a$ est une borne. On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à $+ \infty$ si $f (x)$ devient aussi grand que l'on veut lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

$x \to a lim f (x) = + \infty$

Géométriquement, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

Les deux types d'asymptotes se lisent directement sur la courbe. Par exemple, pour $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ sur $] 1, + \infty [$ (étudiée dans l'exercice 4) :

La courbe « colle » à la droite verticale $x = 1$ quand $x \to 1^{+}$ (limite infinie) et à la droite horizontale $y = 2$ quand $x \to + \infty$ (limite finie).

2.1.3 Limites des fonctions de référence

Proposition 2.5Limites usuelles

Fonction	en $- \infty$	en $0$	en $+ \infty$
$x^{n}$ ( $n \geq 1$ entier)	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$	$+ \infty$
$\frac{1}{x ^{n}}$ ( $n \geq 1$ entier)	$0$	$\pm \infty$ (selon le signe et la parité)	$0$
$x$	---	$0$	$+ \infty$
$e^{x}$	$0$	$1$	$+ \infty$

En particulier $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ et $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ .

Exercices du chapitre

Levée d'indétermination par quantité conjuguée corrigé
Limite de fonctions trigonométriques par encadrement corrigé
Recherche d'asymptotes corrigé
Limite oscillante amortie corrigé
Continuité globale et paramètre corrigé
Problème — Étude complète et résolution approchée par dichotomie corrigé

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