Limites et Continuité des fonctions

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 2 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre aborde l'étude des limites de fonctions aux bornes de leur ensemble de définition, l'étude de la continuité sur un intervalle, et l'application majeure qu'est le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

2.1 Limites de Fonctions

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction $f$ lorsque sa variable $x$ devient très grande (positivement ou négativement) ou s'approche d'une valeur interdite.

2.1.1 Limites à l'infini et asymptotes horizontales

Définition 2.1Limite finie à l'infini

Soit $L \in R$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle $] a, + \infty [$ . On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = L$

Géométriquement, la droite d'équation $y = L$ est appelée asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ . Une définition analogue s'applique en $- \infty$ .

Définition 2.2Limite infinie à l'infini

On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $+ \infty$ si, pour tout réel $M > 0$ , on a $f (x) > M$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

Il n'y a que trois issues possibles quand $x$ part vers $+ \infty$ : ou bien la courbe se plaque contre une droite horizontale, ou bien elle s'échappe vers le haut (ou le bas), ou bien elle continue d'osciller sans jamais se fixer — et dans ce dernier cas, il n'y a pas de limite.

2.1.2 Limites en un réel $a$ et asymptotes verticales

Définition 2.3Limite finie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ ou dont $a$ est une borne, et $L \in R$ . On dit que $f (x)$ tend vers $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ si $f (x)$ est aussi proche que l'on veut de $L$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

$x \to a lim f (x) = L$

iRemarqueLimites à gauche et à droite

Il arrive que le comportement de $f$ diffère selon que $x$ s'approche de $a$ par valeurs inférieures ou supérieures. On parle alors de limite à gauche, notée $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ , et de limite à droite, notée $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ . La limite en $a$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

L'exemple de référence est la fonction inverse en $0$ : les deux côtés partent à l'infini, mais dans des directions opposées. Il n'y a donc pas de limite en $0$ , même si chacune des deux limites latérales existe.

Définition 2.4Limite infinie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dont $a$ est une borne. On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à $+ \infty$ si $f (x)$ devient aussi grand que l'on veut lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

$x \to a lim f (x) = + \infty$

Géométriquement, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

Les deux types d'asymptotes se lisent directement sur la courbe. Par exemple, pour $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ sur $] 1, + \infty [$ (étudiée dans l'exercice 4) :

La courbe « colle » à la droite verticale $x = 1$ quand $x \to 1^{+}$ (limite infinie) et à la droite horizontale $y = 2$ quand $x \to + \infty$ (limite finie).

2.1.3 Limites des fonctions de référence

Proposition 2.5Limites usuelles

Fonction	en $- \infty$	en $0$	en $+ \infty$
$x^{n}$ ( $n \geq 1$ entier)	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$	$+ \infty$
$\frac{1}{x ^{n}}$ ( $n \geq 1$ entier)	$0$	$\pm \infty$ (selon le signe et la parité)	$0$
$x$	---	$0$	$+ \infty$
$e^{x}$	$0$	$1$	$+ \infty$

En particulier $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ et $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ .

Ce tableau se retient mieux sous forme d'images : les limites aux bornes ne sont rien d'autre que la façon dont chaque courbe « part » à ses extrémités.

2.1.4 Opérations sur les limites

Les règles opératoires pour les limites de sommes, produits et quotients de fonctions sont les mêmes que pour les suites : les trois tableaux du chapitre 1 (somme, produit, quotient) s'appliquent à l'identique en remplaçant $n \to + \infty$ par $x \to a$ , $x \to + \infty$ ou $x \to - \infty$ . Certaines situations conduisent aux mêmes Formes Indéterminées (F.I.) où l'on ne peut pas conclure directement :

$« \infty - \infty », « 0 \times \infty », « \frac{0}{0} » et « \frac{\infty}{\infty} »$

Une forme indéterminée n'est pas une limite qui n'existerait pas : c'est une limite que la forme de l'écriture ne suffit pas à déterminer. Trois expressions du même type « $\infty - \infty$ » peuvent parfaitement avoir trois limites différentes.

2.1.5 Composition et comparaison de limites

◆Théorème 2.6Limite d'une fonction composée

Soient deux fonctions $u$ et $v$ . Si :

$x \to a lim u (x) = b et y \to b lim v (y) = c$

(où $a$ , $b$ et $c$ peuvent être des réels ou $\pm \infty$ ), alors :

$x \to a lim v (u (x)) = c$

◆Théorème 2.7Théorème des Gendarmes

Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle contenant $a$ (sauf éventuellement en $a$ ). Supposons que pour tout $x \neq = a$ dans cet intervalle :

$g (x) \leq f (x) \leq h (x)$

Si $lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = L$ (où $L \in R$ ), alors $lim_{x \to a} f (x) = L$ .

Ce théorème est l'outil de choix quand la fonction est trop agitée pour être étudiée directement. L'exemple canonique est $f (x) = x sin (\frac{1}{x})$ près de $0$ : elle oscille infiniment vite, on ne peut rien dire de $sin (\frac{1}{x})$ , mais l'amplitude des oscillations, elle, est bornée par $∣ x ∣$ — et cela suffit.

◆Théorème 2.8Théorème de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f (x) \leq g (x)$ pour $x$ assez grand.

Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ , alors $lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ .
Si $lim_{x \to + \infty} g (x) = - \infty$ , alors $lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ .

Ces énoncés (comme le théorème des gendarmes) valent aussi en $- \infty$ et en un point $a$ .

iRemarqueCroissances comparées

Les limites confrontant $e^{x}$ , $ln x$ et les puissances $x^{n}$ (par exemple $lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ ) sont appelées croissances comparées. Elles sont étudiées, avec leurs démonstrations, dans les chapitres consacrés au logarithme (chapitre 4) et à l'exponentielle (chapitre 5).

2.2 Continuité

2.2.1 Définition et propriétés

La continuité traduit mathématiquement l'idée qu'on peut tracer la courbe représentative d'une fonction « sans lever le crayon ».

Définition 2.9Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$x \to a lim f (x) = f (a)$

On dit que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ si $f$ est continue en tout réel de $I$ .

Visuellement, une fonction discontinue en un point présente un « saut » :

Proposition 2.10Continuité des fonctions de référence

Les fonctions affines, puissances, polynômes, rationnelles, trigonométriques ( $sin$ , $cos$ ), la fonction exponentielle et la fonction racine carrée sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

Proposition 2.11Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ .

iRemarque

La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. Par exemple, $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (sa courbe présente un « point anguleux »).

2.2.2 Suites et fonctions continues

La continuité permet de « passer à la limite » dans les images d'une suite. Ce résultat est l'outil central pour déterminer la limite d'une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

◆Théorème 2.12Image d'une suite convergente

Soit $(u_{n})$ une suite qui converge vers un réel $ℓ$ et $f$ une fonction continue en $ℓ$ . Alors la suite $(f (u_{n}))$ converge vers $f (ℓ)$ .

Proposition 2.13Limite d'une suite récurrente

Soit $f$ une fonction continue d'un intervalle $I$ dans lui-même et $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} \in I$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ \in I$ , alors $ℓ$ est solution de l'équation :

$f (ℓ) = ℓ$

On dit que $ℓ$ est un point fixe de $f$ .

Démonstration

Si $u_{n} \to ℓ$ , alors d'une part $u_{n + 1} \to ℓ$ (c'est la même suite décalée d'un rang), et d'autre part, $f$ étant continue en $ℓ$ , $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ d'après le théorème précédent. Comme $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n$ , l'unicité de la limite donne $ℓ = f (ℓ)$ .

Exemple 2.14Retour sur la suite du chapitre 1

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . On a montré au chapitre 1 que cette suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge donc vers un réel $ℓ \in [0, 2]$ . La fonction $f (x) = x + 2$ est continue sur $[0, 2]$ , donc $ℓ$ vérifie :

$ℓ + 2 = ℓ ⟺ ℓ^{2} = ℓ + 2 ⟺ ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0 ⟺ (ℓ - 2) (ℓ + 1) = 0$

Comme $ℓ \geq 0$ , on conclut $ℓ = 2$ : c'est la valeur observée sur la construction en toile d'araignée du chapitre 1.

2.2.3 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le TVI est l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle. Il affirme qu'une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

◆Théorème 2.15Théorème des Valeurs Intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :

$f (c) = k$

Le mot important est au moins. Le TVI ouvre la porte : il affirme qu'une solution existe. Il ne dit rien sur leur nombre — une fonction continue qui monte et redescend peut atteindre la valeur $k$ plusieurs fois.

Dans la pratique, on utilise très souvent son corollaire qui assure l'unicité de la solution.

◆Théorème 2.16Corollaire du TVI (Théorème de la bijection)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[a, b]$ .

iRemarqueExtension aux intervalles quelconques

Le corollaire s'étend à un intervalle ouvert ou non borné ( $] a, b [$ , $[a, + \infty [$ , $R$ , etc.) en remplaçant $f (a)$ et $f (b)$ par les limites de $f$ aux bornes. Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, + \infty [$ avec $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ , alors l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution pour tout $k \geq f (a)$ .

Voici une illustration graphique du corollaire du TVI sur un intervalle $[a, b]$ pour une fonction strictement croissante :

2.3 Méthodes Clés

Méthode : Lever une indétermination en $+ \infty$

Pour lever une indétermination sur une fonction rationnelle ou polynomiale en $+ \infty$ ou $- \infty$ , la méthode standard consiste à mettre en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple 2.17Calcul de limite

Calculons la limite suivante :

$x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + 3}$

C'est une forme indéterminée du type « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Déterminons sa limite en factorisant :

$\frac{2 x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + 3} = \frac{x ^{2} ( 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 1 + \frac{3}{x ^{2}} )} = \frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{3}{x ^{2}}}$

Comme $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ et $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{2}} = 0$ , on obtient par quotient :

$x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + 3} = \frac{2}{1} = 2$

2.4 Algorithmique et Programmation

L'algorithme de dichotomie permet de trouver une valeur approchée de l'unique solution d'une équation $f (x) = k$ lorsque la fonction est continue et strictement monotone. À chaque étape, on coupe l'intervalle en deux et on conserve la moitié qui contient la solution : la longueur de l'encadrement est divisée par 2.


def dichotomie(f, a, b, k, epsilon):
    # f est la fonction, [a, b] l'intervalle de recherche
    # k est la valeur cible, epsilon est la precision voulue
    gauche = a
    droite = b
    while (droite - gauche) > epsilon:
        milieu = (gauche + droite) / 2
        if f(milieu) < k:
            gauche = milieu
        else:
            droite = milieu
    return (gauche + droite) / 2

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