Dérivation et Convexité

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 3 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre approfondit l'étude locale et globale des fonctions d'une variable réelle. Nous allons compléter l'étude de la dérivation (fonction composée, dérivée seconde), détailler la caractérisation géométrique des courbes (asymptotes) et introduire la notion géométrique et analytique de convexité.

3.1 Compléments sur la Dérivation

3.1.1 Dérivée d'une fonction composée

◆Théorème 3.1Dérivée de

v \circ u

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ , et $v$ une fonction dérivable sur $J$ . La fonction composée $f = v \circ u$ définie sur $I$ par $f (x) = v (u (x))$ est dérivable sur $I$ , et pour tout $x \in I$ :

$f^{'} (x) = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$

Le produit de la formule n'est pas un hasard de calcul. Composer, c'est faire passer une variation dans deux machines à la suite : la première multiplie les petites variations par $u^{'} (x)$ , la seconde par $v^{'} (u (x))$ . Deux amplifications successives se multiplient.

De ce théorème général découlent plusieurs formules clés à connaître sur le bout des doigts :

Proposition 3.2Cas particuliers usuels

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Puissance : La fonction $u^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

Racine : Si pour tout $x \in I$ , $u (x) > 0$ , la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$

Exponentielle : La fonction $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

Logarithme : Si pour tout $x \in I$ , $u (x) > 0$ , la fonction $ln (u)$ (la fonction $ln$ est étudiée au chapitre 4) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

3.1.2 Dérivée seconde

Définition 3.3Dérivées successives

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si la fonction dérivée $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée, notée $f^{''}$ , est appelée la dérivée seconde de $f$ .

Que voit-on d'une dérivée seconde ? Comparons deux fonctions toutes deux croissantes : $f^{'}$ ne les distingue pas, puisqu'elle est positive dans les deux cas. C'est $f^{''}$ qui fait la différence — elle mesure si la montée s'accélère ou s'essouffle. En physique, $f$ est la position, $f^{'}$ la vitesse et $f^{''}$ l'accélération : la même hiérarchie.

3.2 Branches Infinies et Étude des Fonctions

L'asymptote oblique est un approfondissement au-delà du programme de spécialité (les asymptotes parallèles aux axes sont traitées au chapitre 2) ; elle est fréquemment utile dans les problèmes.

L'étude des branches infinies permet de décrire le comportement asymptotique des courbes représentatives $C_{f}$ de fonctions au voisinage de $\pm \infty$ ou de points de discontinuité.

3.2.1 Asymptotes

Asymptote verticale : Si $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ , la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .
Asymptote horizontale : Si $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$ ( $L \in R$ ), la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $\pm \infty$ .
Asymptote oblique : Si $lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ ( $a \neq = 0$ ), la droite d'équation $y = a x + b$ est une asymptote oblique à la courbe $C_{f}$ en $\pm \infty$ .

Le cas oblique déroute souvent : la fonction tend vers $+ \infty$ , et pourtant la courbe « suit » une droite. Il n'y a pas de contradiction — ce n'est pas $f (x)$ qui tend vers une valeur finie, c'est l'écart entre la courbe et la droite. Sur l'exemple $f (x) = x + 1 + \frac{3}{x}$ , cet écart vaut exactement $\frac{3}{x}$ :

3.3 Concavité d'une courbe et Points d'Inflexion

L'étude de la concavité permet de déterminer la direction de la courbure de la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction et d'identifier les points de transition appelés points d'inflexion.

3.3.1 Fonction convexe : définition par les sécantes

Définition 3.4Fonction convexe, fonction concave

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $C_{f}$ sa courbe représentative.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de $C_{f}$ , le segment $[A B]$ (la sécante) est situé au-dessus de la courbe entre $A$ et $B$ .
On dit que $f$ est concave sur $I$ si tout segment $[A B]$ est situé au-dessous de la courbe entre $A$ et $B$ .

Exemple 3.5

Les fonctions $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto ∣ x ∣$ sont convexes sur $R$ (la seconde n'est pourtant pas dérivable en $0$ : la définition par les sécantes n'exige aucune dérivabilité). La fonction $x \mapsto x$ est concave sur $[0, + \infty [$ .

3.3.2 Caractérisations pour les fonctions dérivables

◆Théorème 3.6Caractérisations de la convexité (admis)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
la courbe $C_{f}$ est située entièrement au-dessus de ses tangentes sur $I$ ;
la dérivée $f^{'}$ est croissante sur $I$ .

Si de plus $f$ est deux fois dérivable sur $I$ :

$f convexe sur I ⟺ f^{''} (x) \geq 0 pour tout x \in I$

Les énoncés analogues valent pour la concavité (courbe au-dessous des tangentes, $f^{'}$ décroissante, $f^{''} \leq 0$ ).

Démonstration ((exigible) — si

f^{''} \geq 0

, la courbe est au-dessus de ses tangentes)

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ avec $f^{''} \geq 0$ , et $a \in I$ . La tangente en $a$ a pour équation $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ . Posons, pour $x \in I$ :

$g (x) = f (x) - [f (a) + f^{'} (a) (x - a)]$

La fonction $g$ est dérivable et $g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)$ . Comme $f^{''} \geq 0$ , la fonction $f^{'}$ est croissante sur $I$ , donc :

pour $x \leq a$ : $f^{'} (x) \leq f^{'} (a)$ , soit $g^{'} (x) \leq 0$ — $g$ est décroissante sur $I \cap] - \infty, a]$ ;
pour $x \geq a$ : $f^{'} (x) \geq f^{'} (a)$ , soit $g^{'} (x) \geq 0$ — $g$ est croissante sur $I \cap [a, + \infty [$ .

La fonction $g$ atteint donc son minimum en $a$ , et $g (a) = f (a) - f (a) = 0$ . Ainsi $g (x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ :

$f (x) \geq f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

La courbe est bien au-dessus de chacune de ses tangentes.

3.3.3 Point d'inflexion

Définition 3.7Point d'inflexion

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Un point $A (a, f (a))$ est appelé un point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ si la courbe change de concavité en $a$ . Géométriquement, la courbe traverse sa tangente au point $A$ .

◆Théorème 3.8Caractérisation analytique du point d'inflexion

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ . Le point $A (a, f (a))$ est un point d'inflexion de $C_{f}$ si et seulement si la dérivée seconde $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ .

Voici une illustration avec la courbe de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ qui change de concavité au point d'inflexion $I (1, 0)$ :

3.3.4 Lire la convexité sur les courbes de $f$ , $f^{'}$ ou $f^{''}$

Une capacité essentielle est de relier les trois représentations graphiques. Sur l'exemple $f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x$ (donc $f^{'} (x) = x^{2} - 1$ et $f^{''} (x) = 2 x$ ), les trois courbes alignées verticalement montrent la correspondance :

Méthode : Lecture graphique de la convexité

Sur la courbe de $f$ : repérer les zones « tournées vers le haut » (convexe) et « vers le bas » (concave) ; les points d'inflexion sont les points où la courbe traverse sa tangente.
Sur la courbe de $f^{'}$ : $f$ est convexe là où $f^{'}$ est croissante, concave là où $f^{'}$ est décroissante ; une inflexion de $f$ correspond à un extremum de $f^{'}$ .
Sur la courbe de $f^{''}$ : $f$ est convexe là où $f^{''} \geq 0$ ; une inflexion correspond à un point où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

3.4 Méthodes Clés

Méthode : Étudier la concavité et les points d'inflexion

Pour déterminer la concavité de la courbe $C_{f}$ et ses éventuels points d'inflexion :

On calcule la dérivée première $f^{'} (x)$ .
On calcule la dérivée seconde $f^{''} (x)$ .
On étudie le signe de $f^{''} (x)$ sur l'ensemble de définition :

Sur les intervalles où $f^{''} (x) \geq 0$ , la courbe $C_{f}$ est convexe (courbée vers le haut).
Sur les intervalles où $f^{''} (x) \leq 0$ , la courbe $C_{f}$ est concave (courbée vers le bas).
Les points où $f^{''} (x)$ s'annule en changeant de signe sont des points d'inflexion.

Exemple 3.9Étude de la concavité

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ . Calculons les dérivées successives :

$f^{'} (x) = (2 x - 2) e^{x} + (x^{2} - 2 x) e^{x} = (x^{2} - 2) e^{x}$

Puis la dérivée seconde :

$f^{''} (x) = (2 x) e^{x} + (x^{2} - 2) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 2) e^{x}$

Comme $e^{x} > 0$ , le signe de $f^{''} (x)$ est celui du polynôme $x^{2} + 2 x - 2$ . Le discriminant est $Δ = 12 > 0$ . Les racines sont :

$x_{1} = - 1 - 3 \approx - 2, 73 et x_{2} = - 1 + 3 \approx 0, 73$

Ainsi :

la courbe $C_{f}$ est convexe sur $] - \infty, - 1 - 3]$ et sur $[- 1 + 3, + \infty [$ .
la courbe $C_{f}$ est concave sur $[- 1 - 3, - 1 + 3]$ .
La courbe $C_{f}$ admet deux points d'inflexion aux abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ .

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