Dérivation et Convexité

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Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

Ce chapitre approfondit l'étude locale et globale des fonctions d'une variable réelle. Nous allons compléter l'étude de la dérivation (fonction composée, dérivée seconde), détailler la caractérisation géométrique des courbes (asymptotes) et introduire la notion géométrique et analytique de convexité.

3.1 Compléments sur la Dérivation

3.1.1 Dérivée d'une fonction composée

◆Théorème 3.1Dérivée de

v \circ u

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ , et $v$ une fonction dérivable sur $J$ . La fonction composée $f = v \circ u$ définie sur $I$ par $f (x) = v (u (x))$ est dérivable sur $I$ , et pour tout $x \in I$ :

$f^{'} (x) = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$

Le produit de la formule n'est pas un hasard de calcul. Composer, c'est faire passer une variation dans deux machines à la suite : la première multiplie les petites variations par $u^{'} (x)$ , la seconde par $v^{'} (u (x))$ . Deux amplifications successives se multiplient.

De ce théorème général découlent plusieurs formules clés à connaître sur le bout des doigts :

Proposition 3.2Cas particuliers usuels

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Puissance : La fonction $u^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

Racine : Si pour tout $x \in I$ , $u (x) > 0$ , la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$

Exponentielle : La fonction $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

Logarithme : Si pour tout $x \in I$ , $u (x) > 0$ , la fonction $ln (u)$ (la fonction $ln$ est étudiée au chapitre 4) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

3.1.2 Dérivée seconde

Définition 3.3Dérivées successives

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si la fonction dérivée $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée, notée $f^{''}$ , est appelée la dérivée seconde de $f$ .

Que voit-on d'une dérivée seconde ? Comparons deux fonctions toutes deux croissantes : $f^{'}$ ne les distingue pas, puisqu'elle est positive dans les deux cas. C'est $f^{''}$ qui fait la différence — elle mesure si la montée s'accélère ou s'essouffle. En physique, $f$ est la position, $f^{'}$ la vitesse et $f^{''}$ l'accélération : la même hiérarchie.

3.2 Branches Infinies et Étude des Fonctions

L'asymptote oblique est un approfondissement au-delà du programme de spécialité (les asymptotes parallèles aux axes sont traitées au chapitre 2) ; elle est fréquemment utile dans les problèmes.

Exercices du chapitre

Détermination des intervalles de convexité corrigé
Recherche de points d'inflexion corrigé
Démonstration d'inégalité par convexité corrigé
Convexité d'une fonction avec logarithme corrigé
Dérivée de l'inverse d'une fonction corrigé
Problème — Recherche de tangentes communes corrigé

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