Fonction Logarithme Népérien

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La courbe du logarithme népérien, qui passe par 1 sur l'axe des abscisses et atteint 1 en e.

Ce chapitre présente la fonction logarithme népérien, notée $ln$ . Historiquement introduite pour simplifier les calculs astronomiques et de navigation en transformant les produits en sommes, elle joue aujourd'hui un rôle central dans toutes les sciences et en analyse mathématique.

4.1 Définition et Propriétés Algébriques

4.1.1 Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x > 0$ , l'équation $e^{y} = x$ d'inconnue $y$ admet une unique solution sur $R$ .

Définition 4.1Fonction Logarithme Népérien

On appelle fonction logarithme népérien, notée $ln$ , la fonction qui, à tout réel $x \in] 0, + \infty [$ , associe l'unique solution $y$ de l'équation $e^{y} = x$ . Ainsi, pour tout $x \in] 0, + \infty [$ et tout $y \in R$ :

$y = ln (x) ⟺ e^{y} = x$

Cette définition paraît abstraite tant qu'on ne l'a pas vue sur un graphique. Elle dit simplement ceci : la courbe de l'exponentielle monte sans jamais redescendre, en balayant toutes les valeurs strictement positives ; chaque hauteur $x > 0$ est donc atteinte à une abscisse et une seule, et c'est cette abscisse que l'on baptise $ln x$ .

Proposition 4.2Relations fondamentales

De cette définition, on déduit immédiatement :

Pour tout $x \in] 0, + \infty [$ : $e^{l n (x)} = x$ .
Pour tout $y \in R$ : $ln (e^{y}) = y$ .
En particulier : $ln (1) = 0$ et $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ ).

4.1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale de la fonction logarithme est de transformer les produits en sommes :

Proposition 4.3Relation fonctionnelle et extensions

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$ln (a \times b) = ln (a) + ln (b)$

On en déduit également les propriétés suivantes pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et $n \in Z$ :

Inverse : $ln (\frac{1}{a}) = - ln (a)$
Quotient : $ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)$
Puissance : $ln (a^{n}) = n ln (a)$
Racine carrée : $ln (a) = \frac{1}{2} ln (a)$

C'est cette seule relation qui a fait la fortune du logarithme pendant trois siècles. Graduons un axe non pas selon $x$ , mais selon $ln x$ : les nombres se répartissent alors de telle sorte que multiplier revient à translater. Un astronome du XVII^e siècle remplaçait ainsi une multiplication à six chiffres par une addition — et l'on retrouve exactement ce principe dans la règle à calcul.

Exercices du chapitre

Inéquation logarithmique corrigé
Dérivation d'un logarithme composé corrigé
Domaine de définition corrigé
Équation de type second degré en $ln (x)$ corrigé
Limite par factorisation forcée corrigé
Problème — Étude de la fonction $f (x) = \frac{l n ( x )}{x}$ corrigé

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