Fonction Logarithme Népérien

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 4 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre présente la fonction logarithme népérien, notée $ln$ . Historiquement introduite pour simplifier les calculs astronomiques et de navigation en transformant les produits en sommes, elle joue aujourd'hui un rôle central dans toutes les sciences et en analyse mathématique.

4.1 Définition et Propriétés Algébriques

4.1.1 Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x > 0$ , l'équation $e^{y} = x$ d'inconnue $y$ admet une unique solution sur $R$ .

Définition 4.1Fonction Logarithme Népérien

On appelle fonction logarithme népérien, notée $ln$ , la fonction qui, à tout réel $x \in] 0, + \infty [$ , associe l'unique solution $y$ de l'équation $e^{y} = x$ . Ainsi, pour tout $x \in] 0, + \infty [$ et tout $y \in R$ :

$y = ln (x) ⟺ e^{y} = x$

Cette définition paraît abstraite tant qu'on ne l'a pas vue sur un graphique. Elle dit simplement ceci : la courbe de l'exponentielle monte sans jamais redescendre, en balayant toutes les valeurs strictement positives ; chaque hauteur $x > 0$ est donc atteinte à une abscisse et une seule, et c'est cette abscisse que l'on baptise $ln x$ .

Proposition 4.2Relations fondamentales

De cette définition, on déduit immédiatement :

Pour tout $x \in] 0, + \infty [$ : $e^{l n (x)} = x$ .
Pour tout $y \in R$ : $ln (e^{y}) = y$ .
En particulier : $ln (1) = 0$ et $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ ).

4.1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale de la fonction logarithme est de transformer les produits en sommes :

Proposition 4.3Relation fonctionnelle et extensions

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$ln (a \times b) = ln (a) + ln (b)$

On en déduit également les propriétés suivantes pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et $n \in Z$ :

Inverse : $ln (\frac{1}{a}) = - ln (a)$
Quotient : $ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)$
Puissance : $ln (a^{n}) = n ln (a)$
Racine carrée : $ln (a) = \frac{1}{2} ln (a)$

C'est cette seule relation qui a fait la fortune du logarithme pendant trois siècles. Graduons un axe non pas selon $x$ , mais selon $ln x$ : les nombres se répartissent alors de telle sorte que multiplier revient à translater. Un astronome du XVII^e siècle remplaçait ainsi une multiplication à six chiffres par une addition — et l'on retrouve exactement ce principe dans la règle à calcul.

4.2 Étude de la fonction logarithme

4.2.1 Variations et dérivabilité

◆Théorème 4.4Dérivée et variations

La fonction $ln$ est continue et dérivable sur $] 0, + \infty [$ . Pour tout $x \in] 0, + \infty [$ :

$ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$

Comme $x > 0$ , $ln^{'} (x) > 0$ . Ainsi, la fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

Démonstration ((exigible) — calcul de

ln^{'}

, la dérivabilité étant admise)

On admet que la fonction $ln$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ . Pour tout $x > 0$ , on a par définition :

$e^{l n (x)} = x$

Dérivons les deux membres de cette égalité. À gauche, la fonction $x \mapsto e^{l n (x)}$ est de la forme $e^{u}$ avec $u = ln$ , de dérivée $u^{'} e^{u} = ln^{'} (x) e^{l n (x)}$ . À droite, la dérivée de $x \mapsto x$ vaut $1$ . D'où :

$ln^{'} (x) e^{l n (x)} = 1 ⟺ ln^{'} (x) \times x = 1 ⟺ ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$

Cette formule minuscule contient tout le comportement de la fonction : la pente en un point est l'inverse de l'abscisse. Elle reste donc toujours strictement positive — d'où la croissance — mais elle s'effondre vers $0$ quand $x$ grandit, ce qui explique la lenteur légendaire du logarithme.

Proposition 4.5Signe du logarithme

Si $0 < x < 1$ , alors $ln (x) < 0$ .
Si $x > 1$ , alors $ln (x) > 0$ .

4.2.2 Limites aux bornes

Proposition 4.6Limites de référence

En $+ \infty$ : $lim_{x \to + \infty} ln (x) = + \infty$
En $0$ (par valeurs supérieures) : $lim_{x \to 0^{+}} ln (x) = - \infty$

Conséquence géométrique : L'axe des ordonnées (d'équation $x = 0$ ) est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $ln$ .

4.2.3 Symétrie et Représentation Graphique

Puisque les fonctions $ln$ et $exp$ sont réciproques l'une de l'autre, leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

4.3 Limites de Croissances Comparées

À l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de $x$ , qui elles-mêmes l'emportent sur la fonction logarithme.

◆Théorème 4.7Croissances comparées pour

ln

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{n}} = 0 et x \to 0^{+} lim x^{n} ln (x) = 0$

Démonstration (— cas

n = 1

+ \infty

)

Montrons d'abord que pour tout $x \geq 1$ : $ln (x) \leq x$ . Posons $g (x) = x - ln (x)$ sur $[1, + \infty [$ :

$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 2}{2 x}$

Ainsi $g$ est décroissante sur $[1, 4]$ puis croissante sur $[4, + \infty [$ ; son minimum vaut $g (4) = 2 - ln (4) \approx 0, 61 > 0$ . Donc $g (x) > 0$ , c'est-à-dire $ln (x) \leq x$ pour tout $x \geq 1$ . On en déduit l'encadrement, pour $x \geq 1$ :

$0 \leq \frac{ln ( x )}{x} \leq \frac{x}{x} = \frac{1}{x}$

Comme $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $lim_{x \to + \infty} \frac{l n ( x )}{x} = 0$ . Pour $n \geq 2$ et $x \geq 1$ , on a $0 \leq \frac{l n ( x )}{x ^{n}} \leq \frac{l n ( x )}{x}$ , d'où le résultat général par comparaison.

Démonstration ((exigible) — limite en

0

x ln (x)

)

Posons le changement de variable $X = \frac{1}{x}$ , c'est-à-dire $x = \frac{1}{X}$ . Lorsque $x \to 0^{+}$ , on a $X \to + \infty$ , et :

$x ln (x) = \frac{1}{X} ln (\frac{1}{X}) = - \frac{ln ( X )}{X}$

D'après la croissance comparée en $+ \infty$ , $lim_{X \to + \infty} \frac{l n ( X )}{X} = 0$ . Par composition :

$x \to 0^{+} lim x ln (x) = 0$

Pour $n \geq 2$ et $0 < x < 1$ : $∣ x^{n} ln (x) ∣ \leq ∣ x ln (x) ∣$ , d'où $lim_{x \to 0^{+}} x^{n} ln (x) = 0$ par encadrement.

La lenteur de la croissance du logarithme se lit sur les courbes :

La seconde limite du théorème, $x ln (x) \to 0$ en $0^{+}$ , est plus déroutante : c'est un duel entre un facteur qui s'écrase vers $0$ et un facteur qui plonge vers $- \infty$ . Le graphique montre qui l'emporte.

4.4 Méthodes Clés

Méthode : Résoudre des équations et inéquations avec $ln$

Pour résoudre une équation ou une inéquation contenant des logarithmes :

Déterminer le domaine d'étude : les expressions situées dans chaque logarithme doivent être strictement positives.
Simplifier les expressions à l'aide des formules algébriques pour regrouper les logarithmes sous la forme $ln (A) = ln (B)$ ou $ln (A) < ln (B)$ .
Utiliser la stricte croissance de la fonction $ln$ :

$ln (A) = ln (B) ⟺ A = B et ln (A) < ln (B) ⟺ A < B$

Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine d'étude.

Exemple 4.8Résolution d'inéquation

Résolvons dans $R$ l'inéquation : $ln (x - 1) + ln (x) \leq ln (2)$ .

Domaine d'étude : On doit avoir $x - 1 > 0$ et $x > 0$ , c'est-à-dire $x > 1$ . L'ensemble d'étude est donc $D =] 1, + \infty [$ .
Simplification : Pour $x \in D$ , $ln (x - 1) + ln (x) = ln (x (x - 1)) = ln (x^{2} - x)$ . L'inéquation devient :

$ln (x^{2} - x) \leq ln (2) ⟺ x^{2} - x \leq 2 ⟺ x^{2} - x - 2 \leq 0$

Le discriminant du trinôme est $Δ = (- 1)^{2} - 4 (1) (- 2) = 9 > 0$ . Les racines sont $x_{1} = - 1$ et $x_{2} = 2$ . Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, c'est-à-dire sur $[- 1, 2]$ .

Conclusion : En croisant avec l'ensemble d'étude $D =] 1, + \infty [$ , on obtient l'ensemble des solutions :

$S =] 1, 2]$

4.5 Algorithmique et Programmation

L'algorithme de Briggs (Henry Briggs, 1561--1630) fut historiquement utilisé pour construire les premières tables de logarithmes, à une époque sans calculatrice. Son idée : en extrayant $n$ fois de suite la racine carrée de $x$ , on obtient $y = x^{1/ 2^{n}}$ , un nombre très proche de $1$ . Or :

$ln (x) = 2^{n} ln (x^{1/ 2^{n}}) et, pour y proche de 1, ln (y) \approx y - 1$

(la tangente en $1$ de la courbe de $ln$ a pour équation $y = x - 1$ ). D'où l'approximation $ln (x) \approx 2^{n} (x^{1/ 2^{n}} - 1)$ .


from math import sqrt

def briggs(x, n):
    # Approxime ln(x) par 2^n * (racine 2^n-ieme de x - 1)
    y = x
    for _ in range(n):
        y = sqrt(y)       # n extractions de racine carree
    return 2**n * (y - 1)

# Exemple : briggs(2, 30) donne 0.6931471... (ln 2 = 0.69314718...)

Algorithme de Briggs pour le calcul de ln(x)

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