Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 5 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre consolide l'étude de la fonction exponentielle, de ses limites de croissances comparées, et présente la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme $y^{'} = a y + b$ .

5.1 Compléments sur la Fonction Exponentielle

5.1.1 Rappels et propriétés analytiques

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $x \mapsto e^{x}$ , est l'unique fonction dérivable sur $R$ égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 ( $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ ).

Proposition 5.1Propriétés fondamentales

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ .
Pour tous réels $x$ et $y$ : $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ , $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ , $\frac{e ^{x}}{e ^{y}} = e^{x - y}$ , $(e^{x})^{n} = e^{n x}$ ( $n \in Z$ ).
La fonction $x \mapsto e^{x}$ est strictement croissante et continue sur $R$ , égale à sa dérivée : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
Les limites aux bornes sont :

$x \to - \infty lim e^{x} = 0 et x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$

Ainsi, la droite d'équation $y = 0$ est une asymptote horizontale à la courbe en $- \infty$ .

Démonstration ((exigible) — limites de

exp

+ \infty

- \infty

)

Montrons d'abord que pour tout réel $x$ : $e^{x} \geq x + 1$ . Posons $φ (x) = e^{x} - x - 1$ ; alors $φ^{'} (x) = e^{x} - 1$ , qui est négative pour $x \leq 0$ et positive pour $x \geq 0$ . La fonction $φ$ atteint donc son minimum en $0$ , et $φ (0) = 0$ : ainsi $φ (x) \geq 0$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq x + 1$ .

En $+ \infty$ : comme $lim_{x \to + \infty} (x + 1) = + \infty$ et $e^{x} \geq x + 1$ , le théorème de comparaison donne $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .
En $- \infty$ : on écrit $e^{x} = \frac{1}{e ^{- x}}$ . Quand $x \to - \infty$ , $- x \to + \infty$ donc $e^{- x} \to + \infty$ , et par quotient $e^{x} \to 0$ .

La courbe de l'exponentielle, avec sa tangente en $0$ d'équation $y = x + 1$ (l'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ dit exactement que la courbe est au-dessus de cette tangente — c'est la convexité vue au chapitre 3) :

5.1.2 Croissances comparées

À l'infini, la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction puissance. Attention : « à l'infini » n'est pas « tout de suite ». Sur un intervalle borné, une puissance peut parfaitement devancer l'exponentielle — c'est même le cas le plus fréquent au début. Le théorème dit qu'elle finit par se faire dépasser, et définitivement.

◆Théorème 5.2Croissances comparées pour

exp

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty et x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$

Démonstration ((exigible) — croissance comparée de

x^{n}

exp

+ \infty

)

Cas $n = 1$ . Montrons que pour tout $x \geq 0$ : $e^{x} \geq \frac{x ^{2}}{2}$ . Posons $h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ sur $[0, + \infty [$ :

$h^{'} (x) = e^{x} - x \geq (x + 1) - x = 1 > 0$

en utilisant l'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ . Donc $h$ est croissante sur $[0, + \infty [$ et $h (0) = 1 > 0$ , d'où $h (x) > 0$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq \frac{x ^{2}}{2}$ . On en déduit, pour $x > 0$ :

$\frac{e ^{x}}{x} \geq \frac{x}{2} x \to + \infty + \infty$

Par comparaison, $lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ .

Cas général. Pour $n \geq 1$ , on écrit :

$\frac{e ^{x}}{x ^{n}} = \frac{1}{n ^{n}} (\frac{e ^{x / n}}{x / n})^{n}$

Quand $x \to + \infty$ , $\frac{x}{n} \to + \infty$ donc $\frac{e ^{x / n}}{x / n} \to + \infty$ d'après le cas $n = 1$ , et par produit $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ .

En $- \infty$ : en posant $X = - x$ , on a $∣ x^{n} e^{x} ∣ = \frac{X ^{n}}{e ^{X}} \to 0$ quand $X \to + \infty$ , d'où $lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0$ .

5.2 Équations Différentielles du Premier Ordre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées de cette fonction. Par exemple, $y^{'} = f$ (dont les solutions sont les primitives de $f$ , étudiées au chapitre 6), $y^{'} = y^{2}$ ou $y^{''} + 2 y = 0$ sont des équations différentielles. Nous nous limitons ici aux équations linéaires du premier ordre à coefficients constants.

5.2.1 L'équation homogène $y^{'} = a y$

◆Théorème 5.3Solutions de

y^{'} = a y

Soit $a$ un réel. Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions de la forme :

$y (x) = C e^{a x} (o u ˋ C \in R)$

Démonstration ((exigible))

Les fonctions $C e^{a x}$ sont solutions : si $y (x) = C e^{a x}$ , alors $y^{'} (x) = C \cdot a e^{a x} = a y (x)$ .

Ce sont les seules : soit $f$ une solution quelconque de $y^{'} = a y$ . Posons $g (x) = f (x) e^{- a x}$ . La fonction $g$ est dérivable comme produit, et :

$g^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- a x} - a f (x) e^{- a x} = (f^{'} (x) - a f (x)) e^{- a x} = 0$

car $f^{'} = a f$ . La fonction $g$ est donc constante : il existe $C \in R$ tel que $g (x) = C$ , c'est-à-dire $f (x) e^{- a x} = C$ , d'où $f (x) = C e^{a x}$ .

L'allure des courbes solutions dépend du signe de $a$ et de la constante $C$ (une courbe par valeur de $C$ ) :

5.2.2 Équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$

Pour résoudre $y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ ), la démarche du programme consiste à chercher d'abord une solution particulière constante : si $y (x) = c$ est solution, alors $0 = a c + b$ , d'où $c = - \frac{b}{a}$ .

◆Théorème 5.4Solutions de

y^{'} = a y + b

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Si $a = 0$ , l'équation s'écrit $y^{'} = b$ . Les solutions sont les fonctions de la forme :

$y (x) = b x + C (o u ˋ C \in R)$

Si $a \neq = 0$ , les solutions de l'équation $y^{'} = a y + b$ sur $R$ sont les fonctions de la forme :

$y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a} (o u ˋ C \in R)$

Démonstration (— cas

a \neq = 0

)

Une fonction $f$ est solution de $y^{'} = a y + b$ si et seulement si la fonction $g = f + \frac{b}{a}$ vérifie :

$g^{'} = f^{'} = a f + b = a (g - \frac{b}{a}) + b = a g$

c'est-à-dire si et seulement si $g$ est solution de l'équation homogène $y^{'} = a y$ . D'après le théorème précédent, $g (x) = C e^{a x}$ , d'où $f (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ .

Proposition 5.5Solution unique vérifiant une condition initiale

Pour tous réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique solution $f$ de l'équation $y^{'} = a y + b$ vérifiant la condition initiale $f (x_{0}) = y_{0}$ .

La solution constante $- \frac{b}{a}$ n'est pas un simple artifice de calcul : c'est l'état d'équilibre du système modélisé. Lorsque $a < 0$ , toutes les autres solutions ne font que s'en rapprocher, par-dessus ou par-dessous. C'est la même image dans les quatre problèmes de fin de chapitre : la tasse rejoint la température de la pièce, le condensateur rejoint la tension du générateur, la population rejoint la capacité du milieu.

5.2.3 Équations de la forme $y^{'} = a y + f$

Proposition 5.6Structure des solutions

Soit $a$ un réel non nul, $f$ une fonction définie sur $R$ , et $φ_{0}$ une solution particulière de l'équation $y^{'} = a y + f$ . Alors les solutions de cette équation sont exactement les fonctions de la forme :

$φ (x) = C e^{a x} + φ_{0} (x) (o u ˋ C \in R)$

Autrement dit : solution générale = solution particulière + solution générale de l'équation homogène $y^{'} = a y$ . En pratique, l'énoncé fournit la solution particulière ou sa forme (constante, polynôme, etc.) — c'est la démarche du problème 5.

5.3 Algorithmique et Programmation

La méthode d'Euler construit une solution approchée d'une équation différentielle $y^{'} = g (x, y)$ avec condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ , sans résolution exacte. L'idée : sur un petit pas $h$ , la courbe est proche de sa tangente, donc :

$y (x + h) \approx y (x) + h y^{'} (x)$

On avance ainsi de proche en proche : $x_{k + 1} = x_{k} + h$ et $y_{k + 1} = y_{k} + h g (x_{k}, y_{k})$ . La ligne brisée obtenue approche la courbe solution, d'autant mieux que $h$ est petit.


def euler(a, b, x0, y0, h, n):
    # Approxime la solution de y' = a*y + b avec y(x0) = y0
    # h : pas ; n : nombre d'iterations
    xs, ys = [x0], [y0]
    for _ in range(n):
        y0 = y0 + h * (a * y0 + b)   # y(x+h) = y(x) + h * y'(x)
        x0 = x0 + h
        xs.append(x0)
        ys.append(y0)
    return xs, ys

# Exemple : euler(1, 0, 0, 1, 0.001, 1000) approche e = 2.71828...
# (solution exacte de y' = y, y(0) = 1 : y = e^x, evaluee en x = 1)

Méthode d'Euler pour y' = ay + b

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