Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

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Plusieurs solutions de l'équation différentielle y′ = ay, une par valeur initiale.

Ce chapitre consolide l'étude de la fonction exponentielle, de ses limites de croissances comparées, et présente la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme $y^{'} = a y + b$ .

5.1 Compléments sur la Fonction Exponentielle

5.1.1 Rappels et propriétés analytiques

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $x \mapsto e^{x}$ , est l'unique fonction dérivable sur $R$ égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 ( $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ ).

Proposition 5.1Propriétés fondamentales

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ .
Pour tous réels $x$ et $y$ : $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ , $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ , $\frac{e ^{x}}{e ^{y}} = e^{x - y}$ , $(e^{x})^{n} = e^{n x}$ ( $n \in Z$ ).
La fonction $x \mapsto e^{x}$ est strictement croissante et continue sur $R$ , égale à sa dérivée : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
Les limites aux bornes sont :

$x \to - \infty lim e^{x} = 0 et x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$

Ainsi, la droite d'équation $y = 0$ est une asymptote horizontale à la courbe en $- \infty$ .

Démonstration ((exigible) — limites de

exp

+ \infty

- \infty

)

Montrons d'abord que pour tout réel $x$ : $e^{x} \geq x + 1$ . Posons $φ (x) = e^{x} - x - 1$ ; alors $φ^{'} (x) = e^{x} - 1$ , qui est négative pour $x \leq 0$ et positive pour $x \geq 0$ . La fonction $φ$ atteint donc son minimum en $0$ , et $φ (0) = 0$ : ainsi $φ (x) \geq 0$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq x + 1$ .

En $+ \infty$ : comme $lim_{x \to + \infty} (x + 1) = + \infty$ et $e^{x} \geq x + 1$ , le théorème de comparaison donne $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .
En $- \infty$ : on écrit $e^{x} = \frac{1}{e ^{- x}}$ . Quand $x \to - \infty$ , $- x \to + \infty$ donc $e^{- x} \to + \infty$ , et par quotient $e^{x} \to 0$ .

La courbe de l'exponentielle, avec sa tangente en $0$ d'équation $y = x + 1$ (l'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ dit exactement que la courbe est au-dessus de cette tangente — c'est la convexité vue au chapitre 3) :

5.1.2 Croissances comparées

À l'infini, la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction puissance. Attention : « à l'infini » n'est pas « tout de suite ». Sur un intervalle borné, une puissance peut parfaitement devancer l'exponentielle — c'est même le cas le plus fréquent au début. Le théorème dit qu'elle finit par se faire dépasser, et définitivement.

Exercices du chapitre

Équation du second degré en $e^{x}$ corrigé
Encadrement d'une fonction corrigé
Équation différentielle linéaire homogène corrigé
Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant corrigé
Équation différentielle avec condition initiale générale corrigé
Problème — Équation logistique de Verhulst corrigé

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