Primitives et Intégration

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 6 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre présente le calcul intégral, l'une des branches les plus fécondes de l'analyse. Nous allons définir les primitives d'une fonction, puis l'intégrale comme outil de calcul d'aires, de moyennes et de modélisation mathématique.

6.1 Primitives d'une Fonction

6.1.1 Définition et propriétés

Rechercher les primitives d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation.

Définition 6.1Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ :

$F^{'} (x) = f (x)$

◆Théorème 6.2Existence et ensemble des primitives

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (ce résultat sera justifié par le théorème fondamental du calcul intégral, plus loin dans ce chapitre).
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :

$G (x) = F (x) + C$

où $C$ est une constante réelle.

Démonstration ((exigible) — deux primitives diffèrent d'une constante)

Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ . La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et :

$H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe $C \in R$ tel que $H (x) = C$ pour tout $x \in I$ , c'est-à-dire $G (x) = F (x) + C$ . Réciproquement, si $G = F + C$ , alors $G^{'} = F^{'} = f$ : $G$ est bien une primitive de $f$ .

Graphiquement, cette constante $C$ ne fait rien d'autre que monter ou descendre la courbe. Les primitives d'une même fonction forment donc une famille de courbes empilées, toutes identiques à une translation verticale près : à une abscisse donnée, elles ont toutes la même pente, qui vaut $f (x)$ . C'est aussi pourquoi une seule condition, du type $F (x_{0}) = y_{0}$ , suffit à choisir une primitive et une seule.

6.1.2 Primitives des fonctions usuelles

Le tableau suivant rassemble les formules de primitives obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées :

Fonction $f (x)$	Une primitive $F (x)$	Intervalle $I$
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in Z$ , $n \leq - 2$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ (ex. $\frac{1}{x ^{2}} \mapsto - \frac{1}{x}$ )	$] - \infty, 0 [$ ou $] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$2 x$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$ln (x)$	$] 0, + \infty [$
$sin (x)$	$- cos (x)$	$R$
$cos (x)$	$sin (x)$	$R$

Figure : Primitives des fonctions usuelles

6.1.3 Primitives et composition

Pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, on repère des formes de dérivées de fonctions composées :

Forme de la fonction	Une primitive	Condition sur $u$
$u^{'} u^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$	dérivable
$\frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u (x) \neq = 0$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$2 u$	$u (x) > 0$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	dérivable
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln (u)$	$u (x) > 0$
$u^{'} sin (u)$	$- cos (u)$	dérivable
$u^{'} cos (u)$	$sin (u)$	dérivable

Figure : Primitives de fonctions composées

6.2 Le Calcul Intégral

6.2.1 Intégrale d'une fonction continue positive : l'aire sous la courbe

Définition 6.3Intégrale d'une fonction continue positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$ . L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , est l'aire (en unités d'aire, u.a.) de la région délimitée par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$ .

iRemarque

La notation $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (Leibniz) évoque une somme continue : on peut mettre en regard $\int_{a}^{b} f (x) d x$ et $\sum_{i} f (x_{i}) Δ x_{i}$ — une somme d'aires de rectangles de largeur $Δ x_{i}$ et de hauteur $f (x_{i})$ (voir la méthode des rectangles en fin de chapitre). La variable $x$ est muette : $\int_{a}^{b} f (t) d t$ désigne le même nombre.

6.2.2 Le théorème fondamental

Le lien entre l'aire et les primitives est le résultat central du chapitre :

◆Théorème 6.4Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$ . La fonction $F_{a}$ définie sur $[a, b]$ par :

$F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Démonstration ((exigible) — cas où

f

est positive et croissante)

Soit $x_{0} \in [a, b [$ et $h > 0$ (petit). Le nombre $F_{a} (x_{0} + h) - F_{a} (x_{0})$ est l'aire sous la courbe entre $x_{0}$ et $x_{0} + h$ . Comme $f$ est croissante, cette bande est comprise entre deux rectangles de largeur $h$ : celui de hauteur $f (x_{0})$ et celui de hauteur $f (x_{0} + h)$ :

$h f (x_{0}) \leq F_{a} (x_{0} + h) - F_{a} (x_{0}) \leq h f (x_{0} + h)$

En divisant par $h > 0$ :

$f (x_{0}) \leq \frac{F _{a} ( x _{0} + h ) - F _{a} ( x _{0} )}{h} \leq f (x_{0} + h)$

Quand $h \to 0^{+}$ , la continuité de $f$ en $x_{0}$ donne $f (x_{0} + h) \to f (x_{0})$ ; par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f (x_{0})$ . Un raisonnement analogue vaut pour $h < 0$ . Ainsi $F_{a}$ est dérivable en $x_{0}$ et $F_{a}^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ : $F_{a}$ est une primitive de $f$ . Enfin $F_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ (aire nulle).

◆Théorème 6.5Conséquences

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive quelconque de $f$ , alors :

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Démonstration ((exigible) — relation

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

)

Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$ . Comme $F$ et $F_{a}$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ , elles diffèrent d'une constante : $F_{a} = F + C$ . En évaluant en $a$ : $0 = F_{a} (a) = F (a) + C$ , d'où $C = - F (a)$ . Alors :

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F_{a} (b) = F (b) + C = F (b) - F (a)$

6.2.3 Extension aux fonctions de signe quelconque

Définition 6.6Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ , et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . On définit :

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Cette définition ne dépend pas de la primitive choisie (deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans la différence), et prolonge la définition par l'aire : elle coïncide avec elle lorsque $f$ est positive et $a \leq b$ .

iRemarqueAire algébrique

Lorsque $f$ est négative sur $[a, b]$ , l'intégrale $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'opposé de l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses : les régions sous l'axe comptent négativement. Pour calculer une aire lorsque $f$ change de signe, on découpe l'intervalle selon le signe de $f$ (relation de Chasles) et on intègre $∣ f ∣$ .

6.2.4 Propriétés de l'intégrale

Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et tous réels $α, β$ :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (α f (x) + β g (x)) d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
Relation de Chasles : Pour tout $c \in [a, b]$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .
Positivité et Ordre : Si $f (x) \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ . Si $f (x) \leq g (x)$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Sur une fonction positive, la relation de Chasles n'est que la traduction d'une évidence géométrique : découper l'intervalle revient à découper l'aire.

6.2.5 Valeur moyenne d'une fonction

Définition 6.7Valeur moyenne

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$ ). La valeur moyenne $μ$ de $f$ sur $[a, b]$ est le réel :

$μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

La formule se retient beaucoup mieux sous sa forme géométrique $μ (b - a) = \int_{a}^{b} f$ : la valeur moyenne est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la région sous la courbe. Autrement dit, on aplanit la courbe sans rien perdre — ce que l'on rabote au-dessus de $μ$ vient exactement combler les creux en dessous.

6.3 L'Intégration par Parties (IPP)

Lorsque l'on cherche l'intégrale d'un produit de deux fonctions dont on ne repère pas de forme de composée immédiate, on utilise la méthode d'intégration par parties.

◆Théorème 6.8Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a, b]$ dont les dérivées $u^{'}$ et $v^{'}$ sont continues sur $[a, b]$ . On a :

$\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$

Démonstration ((exigible))

La fonction produit $uv$ est dérivable sur $[a, b]$ et, d'après la formule de dérivation d'un produit :

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Les fonctions $u^{'} v$ et $u v^{'}$ sont continues sur $[a, b]$ (produits de fonctions continues), donc $(uv)^{'}$ l'est aussi et $uv$ en est une primitive. En intégrant les deux membres de $a$ à $b$ :

$\int_{a}^{b} (uv)^{'} (x) d x = \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$

Or $\int_{a}^{b} (uv)^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b}$ . En isolant la première intégrale du membre de droite, on obtient la formule annoncée.

Le schéma de la manœuvre tient en deux colonnes : dans le produit à intégrer, l'un des deux facteurs sera primitivé, l'autre dérivé. Toute la difficulté d'un exercice d'IPP se ramène à cette seule décision.

6.4 Méthodes Clés

Méthode : Calculer une intégrale par IPP

Pour appliquer l'intégration par parties pour calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ :

Écrire la fonction sous la forme d'un produit $u^{'} (x) v (x)$ .
Choisir judicieusement $u^{'} (x)$ et $v (x)$ (en général, on dérive les polynômes ou logarithmes, et on intègre les exponentielles ou trigonométriques).
Calculer $u (x)$ (une primitive de $u^{'}$ ) et $v^{'} (x)$ (la dérivée de $v$ ).
Appliquer la formule de l'IPP et simplifier le résultat.

Exemple 6.9Calcul par IPP

Calculons l'intégrale : $I = \int_{0}^{1} x e^{x} d x$ . Posons :

${v (x) = x u^{'} (x) = e^{x} ⟹ v^{'} (x) = 1 ⟹ u (x) = e^{x}$

Les fonctions $u$ et $v$ sont bien dérivables, et leurs dérivées sont continues sur $[0, 1]$ . Par intégration par parties :

$I = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \times e^{x} d x = (1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0}) - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e^{1} - e^{0}) = 1$

6.5 Algorithmique et Programmation

La méthode des rectangles approche $\int_{a}^{b} f (x) d x$ en découpant $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h = \frac{b - a}{n}$ et en sommant les aires des rectangles de hauteur $f (x_{k})$ :

$\int_{a}^{b} f (x) d x \approx k = 0 \sum n - 1 h f (a + k h)$

C'est exactement le dialogue discret-continu : la somme des aires des rectangles tend vers l'aire sous la courbe quand $n \to + \infty$ .


def rectangles(f, a, b, n):
    # Approxime l'integrale de f sur [a, b] avec n rectangles
    h = (b - a) / n
    aire = 0
    for k in range(n):
        aire = aire + h * f(a + k * h)
    return aire

# Exemple : rectangles(lambda x: x**2, 0, 1, 10000) donne 0.33328...
# (valeur exacte : 1/3)

Méthode des rectangles (à gauche)

iRemarque

Deux variantes améliorent la précision : la méthode des milieux (hauteur $f$ au milieu de chaque sous-intervalle) et la méthode des trapèzes (moyenne des hauteurs aux deux bords). La méthode de Monte-Carlo, elle, estime l'aire en tirant des points au hasard dans un rectangle englobant et en comptant la proportion de points sous la courbe.

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