Primitives et Intégration

Cours · mathématiques (terminale), chapitre 6 · terminale, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous une courbe, approchée par une somme de rectangles.

Ce chapitre présente le calcul intégral, l'une des branches les plus fécondes de l'analyse. Nous allons définir les primitives d'une fonction, puis l'intégrale comme outil de calcul d'aires, de moyennes et de modélisation mathématique.

6.1 Primitives d'une Fonction

6.1.1 Définition et propriétés

Rechercher les primitives d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation.

Définition 6.1Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ :

$F^{'} (x) = f (x)$

◆Théorème 6.2Existence et ensemble des primitives

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (ce résultat sera justifié par le théorème fondamental du calcul intégral, plus loin dans ce chapitre).
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :

$G (x) = F (x) + C$

où $C$ est une constante réelle.

Démonstration ((exigible) — deux primitives diffèrent d'une constante)

Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ . La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et :

$H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe $C \in R$ tel que $H (x) = C$ pour tout $x \in I$ , c'est-à-dire $G (x) = F (x) + C$ . Réciproquement, si $G = F + C$ , alors $G^{'} = F^{'} = f$ : $G$ est bien une primitive de $f$ .

Graphiquement, cette constante $C$ ne fait rien d'autre que monter ou descendre la courbe. Les primitives d'une même fonction forment donc une famille de courbes empilées, toutes identiques à une translation verticale près : à une abscisse donnée, elles ont toutes la même pente, qui vaut $f (x)$ . C'est aussi pourquoi une seule condition, du type $F (x_{0}) = y_{0}$ , suffit à choisir une primitive et une seule.

6.1.2 Primitives des fonctions usuelles

Le tableau suivant rassemble les formules de primitives obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées :

Fonction $f (x)$	Une primitive $F (x)$	Intervalle $I$
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in Z$ , $n \leq - 2$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ (ex. $\frac{1}{x ^{2}} \mapsto - \frac{1}{x}$ )	$] - \infty, 0 [$ ou $] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$2 x$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$ln (x)$	$] 0, + \infty [$
$sin (x)$	$- cos (x)$	$R$
$cos (x)$	$sin (x)$	$R$

Figure : Primitives des fonctions usuelles

6.1.3 Primitives et composition

Pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, on repère des formes de dérivées de fonctions composées :

Exercices du chapitre

Primitive de la forme $u^{'} e^{u}$ corrigé
Primitive de la forme $u^{'} u^{n}$ corrigé
Primitive de la forme $u^{'} / u$ corrigé
Calcul de la valeur moyenne corrigé
Autre forme $u^{'} / u$ avec exponentielle corrigé
Problème — Étude d'une fonction définie par une intégrale corrigé

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