Vocabulaire ensembliste et logique
Cours · mathématiques (terminale), chapitre 11 · terminale, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Ce chapitre ne présente aucune notion nouvelle. Tout ce qui suit a déjà servi, à de nombreuses reprises, dans les dix chapitres précédents : on a écrit pour poser le domaine du logarithme, on a calculé , on a compté des -uplets, on a démontré des « si et seulement si », on a supposé pour en déduire . Le moment est venu de revenir sur ces gestes et de leur donner un nom, une notation et une règle.
C'est le sens de ce dernier chapitre : nommer et organiser un vocabulaire déjà pratiqué. Chaque notion sera donc systématiquement rattachée à l'endroit du livre où elle a déjà travaillé.
11.1 Ensembles : appartenance et inclusion
11.1.1 Élément, ensemble, sous-ensemble
Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. On l'écrit soit en extension, en donnant la liste de ses éléments entre accolades, soit en compréhension, en donnant la propriété qui caractérise ses éléments.
Soit un ensemble.
- Si est un élément de , on écrit (« appartient à »). Dans le cas contraire, on écrit .
- Un ensemble est un sous-ensemble (ou une partie) de lorsque tout élément de est aussi un élément de . On écrit alors (« est inclus dans »).
- L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté . Il est inclus dans tout ensemble.
Le symbole relie un élément à un ensemble ; le symbole relie deux ensembles. Les confondre est la première faute d'écriture à éliminer.
Au chapitre 9, le lancer d'un dé à six faces conduit à l'univers , et à l'événement : « obtenir un nombre pair », c'est-à-dire . On a alors , et . Un événement n'est rien d'autre qu'un sous-ensemble de l'univers.
Le chapitre 7 démontre qu'un ensemble à éléments possède exactement parties, l'ensemble vide et lui-même compris. Pour , les parties sont
11.1.2 Réunion, intersection, complémentaire
Soient et deux sous-ensembles d'un ensemble .
- La réunion est l'ensemble des éléments qui appartiennent à ou à (éventuellement aux deux).
- L'intersection est l'ensemble des éléments qui appartiennent à et à . Si , les ensembles et sont dits disjoints.
- Le complémentaire de dans est l'ensemble des éléments de qui n'appartiennent pas à . On le note (notation des probabilités) ou .
- Chapitre 7, principe additif : si , alors ; et dans le cas général .
- Chapitre 9, exercice 3 : avec : « obtenir un nombre pair » et : « obtenir un multiple de 3 », on a , qui se lit exactement « nombre pair et multiple de 3 ».
- Chapitre 9, problème 1 : la notation désigne l'événement contraire de , et la formule des probabilités totales s'écrit .
- Chapitre 9 encore : calculer en passant par l'événement contraire , c'est utiliser .
11.1.3 Ensembles de nombres et intervalles
Les ensembles de nombres usuels s'emboîtent les uns dans les autres :
Pour réels, on note
et de même , , ainsi que les intervalles non bornés , , , et . Le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est incluse, vers l'extérieur quand elle est exclue. Les symboles et n'étant pas des nombres réels, ils ne sont jamais inclus.
11.1.4 Couples, -uplets et produit cartésien
- Un couple est la donnée de deux éléments dans un ordre déterminé ; un triplet en donne trois, et plus généralement un -uplet en donne .
- Le produit cartésien de deux ensembles et , noté , est l'ensemble de tous les couples où et . On définit de même , ensemble des -uplets, et ( facteurs).
L'ordre est essentiel : le couple et le couple sont différents, alors que les ensembles et sont égaux. C'est toute la différence, au chapitre 7, entre une liste et une combinaison.
- Chapitre 7, exercice 1 : les quatre chiffres d'un code d'accès forment un -uplet de , d'où possibilités.
- Chapitre 7 : une partie d'un ensemble à éléments se code par un -uplet de .
- Chapitre 8 : dans un repère , un point de l'espace est décrit par le triplet de ses coordonnées .
- Chapitre 9 : une issue d'un schéma de épreuves de Bernoulli est un -uplet de .
11.2 Fonctions, bijections, composition
11.2.1 Fonction, image, antécédent
Une fonction d'un ensemble vers un ensemble est un procédé qui, à chaque élément de , associe un seul élément de , noté et appelé image de par . On note , ou . Si , on dit que est un antécédent de par .
Cette notion, manipulée depuis le collège, traverse tout le livre sous des costumes différents : une fonction d'une variable réelle (chapitres 2 à 6), une suite — qui est une fonction de vers (chapitre 1) —, une variable aléatoire — qui est une fonction de l'univers vers (chapitre 9) —, ou encore l'association d'un point de l'espace à son triplet de coordonnées (chapitre 8).
11.2.2 Bijection
Une fonction est une bijection de sur lorsque tout élément de possède un antécédent et un seul dans . On peut alors définir la fonction réciproque , qui à associe cet unique antécédent : pour tous et ,
Le chapitre 4 définit le logarithme népérien exactement ainsi : la fonction exponentielle étant continue et strictement croissante de sur , l'équation admet, pour chaque , une unique solution — que l'on baptise . Autrement dit, pour tous et :
Le chapitre 5 le dit d'un mot : « est la bijection réciproque de la fonction exponentielle ».
La bijection est aussi une technique de comptage : si l'on met deux ensembles finis en bijection, ils ont le même nombre d'éléments. C'est ainsi que le chapitre 7 démontre qu'un ensemble à éléments possède parties — se donner une partie, c'est décider pour chaque élément s'il est retenu () ou non (), c'est-à-dire se donner un mot de .
- Chapitre 2, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires — que le livre appelle d'ailleurs « théorème de la bijection » : si est continue et strictement monotone sur , l'équation a une solution et une seule pour tout compris entre et . C'est exactement dire que réalise une bijection de sur (chapitre 3, problème 3).
- Chapitre 8 : le choix d'un repère met l'espace en bijection avec , chaque point ayant un et un seul triplet de coordonnées ; le plan est de même en bijection avec .