Vocabulaire ensembliste et logique

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 11 · terminale, spécialité mathématiques

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Ce chapitre ne présente aucune notion nouvelle. Tout ce qui suit a déjà servi, à de nombreuses reprises, dans les dix chapitres précédents : on a écrit $x \in] 0, + \infty [$ pour poser le domaine du logarithme, on a calculé $P (A \cap B)$ , on a compté des $k$ -uplets, on a démontré des « si et seulement si », on a supposé $P (k)$ pour en déduire $P (k + 1)$ . Le moment est venu de revenir sur ces gestes et de leur donner un nom, une notation et une règle.

C'est le sens de ce dernier chapitre : nommer et organiser un vocabulaire déjà pratiqué. Chaque notion sera donc systématiquement rattachée à l'endroit du livre où elle a déjà travaillé.

11.1 Ensembles : appartenance et inclusion

11.1.1 Élément, ensemble, sous-ensemble

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. On l'écrit soit en extension, en donnant la liste de ses éléments entre accolades, soit en compréhension, en donnant la propriété qui caractérise ses éléments.

Définition 11.1Appartenance, inclusion

Soit $E$ un ensemble.

Si $x$ est un élément de $E$ , on écrit $x \in E$ (« $x$ appartient à $E$ »). Dans le cas contraire, on écrit $x \in / E$ .
Un ensemble $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ lorsque tout élément de $A$ est aussi un élément de $E$ . On écrit alors $A \subset E$ (« $A$ est inclus dans $E$ »).
L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté $\emptyset$ . Il est inclus dans tout ensemble.

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie deux ensembles. Les confondre est la première faute d'écriture à éliminer.

Exemple 11.2Un univers déjà rencontré

Au chapitre 9, le lancer d'un dé à six faces conduit à l'univers $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , et à l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair », c'est-à-dire $A = {2, 4, 6}$ . On a alors $4 \in A$ , $3 \in / A$ et $A \subset Ω$ . Un événement n'est rien d'autre qu'un sous-ensemble de l'univers.

Exemple 11.3Compter les sous-ensembles

Le chapitre 7 démontre qu'un ensemble à $n$ éléments possède exactement $2^{n}$ parties, l'ensemble vide $\emptyset$ et $E$ lui-même compris. Pour $E = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ , les $2^{3} = 8$ parties sont

$\emptyset, {e_{1}}, {e_{2}}, {e_{3}}, {e_{1}, e_{2}}, {e_{1}, e_{3}}, {e_{2}, e_{3}}, {e_{1}, e_{2}, e_{3}} .$

11.1.2 Réunion, intersection, complémentaire

Définition 11.4Opérations sur les parties d'un ensemble

Soient $A$ et $B$ deux sous-ensembles d'un ensemble $E$ .

La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (éventuellement aux deux).
L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ . Si $A \cap B = \emptyset$ , les ensembles $A$ et $B$ sont dits disjoints.
Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ . On le note $A$ (notation des probabilités) ou $E ∖ A$ .

Exemple 11.5Ces opérations dans les chapitres précédents

Chapitre 7, principe additif : si $A \cap B = \emptyset$ , alors $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B)$ ; et dans le cas général $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B)$ .
Chapitre 9, exercice 3 : avec $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 », on a $A \cap B = {6}$ , qui se lit exactement « nombre pair et multiple de 3 ».
Chapitre 9, problème 1 : la notation $M$ désigne l'événement contraire de $M$ , et la formule des probabilités totales s'écrit $P (T) = P (M \cap T) + P (M \cap T)$ .
Chapitre 9 encore : calculer $P (X \geq 1)$ en passant par l'événement contraire ${X = 0}$ , c'est utiliser $P (A) = 1 - P (A)$ .

11.1.3 Ensembles de nombres et intervalles

Les ensembles de nombres usuels s'emboîtent les uns dans les autres :

$N \subset Z \subset Q \subset R .$

Définition 11.6Intervalles de

R

Pour $a \leq b$ réels, on note

$[a; b] = {x \in R ∣ a \leq x \leq b},] a; b [= {x \in R ∣ a < x < b},$

et de même $[a; b [$ , $] a; b]$ , ainsi que les intervalles non bornés $[a; + \infty [$ , $] a; + \infty [$ , $] - \infty; b]$ , $] - \infty; b [$ et $R =] - \infty; + \infty [$ . Le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est incluse, vers l'extérieur quand elle est exclue. Les symboles $- \infty$ et $+ \infty$ n'étant pas des nombres réels, ils ne sont jamais inclus.

11.1.4 Couples, $n$ -uplets et produit cartésien

Définition 11.7Couple,

n

-uplet, produit cartésien

Un couple $(x; y)$ est la donnée de deux éléments dans un ordre déterminé ; un triplet en donne trois, et plus généralement un $n$ -uplet $(x_{1}; \dots; x_{n})$ en donne $n$ .
Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ , noté $E \times F$ , est l'ensemble de tous les couples $(x; y)$ où $x \in E$ et $y \in F$ . On définit de même $E_{1} \times \dots \times E_{n}$ , ensemble des $n$ -uplets, et $E^{n} = E \times \dots \times E$ ( $n$ facteurs).

L'ordre est essentiel : le couple $(1; 2)$ et le couple $(2; 1)$ sont différents, alors que les ensembles ${1, 2}$ et ${2, 1}$ sont égaux. C'est toute la différence, au chapitre 7, entre une liste et une combinaison.

Exemple 11.8Des

n

-uplets déjà croisés

Chapitre 7, exercice 1 : les quatre chiffres d'un code d'accès forment un $4$ -uplet de ${0, 1, \dots, 9}^{4}$ , d'où $1 0^{4} = 10000$ possibilités.
Chapitre 7 : une partie d'un ensemble à $n$ éléments se code par un $n$ -uplet de ${0, 1}^{n}$ .
Chapitre 8 : dans un repère $(O; , , k)$ , un point $M$ de l'espace est décrit par le triplet de ses coordonnées $(x; y; z) \in R^{3}$ .
Chapitre 9 : une issue d'un schéma de $n$ épreuves de Bernoulli est un $n$ -uplet de ${S, S}^{n}$ .

11.2 Fonctions, bijections, composition

11.2.1 Fonction, image, antécédent

Définition 11.9Fonction

Une fonction $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est un procédé qui, à chaque élément $x$ de $E$ , associe un seul élément de $F$ , noté $f (x)$ et appelé image de $x$ par $f$ . On note $f : E \to F$ , ou $x \mapsto f (x)$ . Si $y = f (x)$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Cette notion, manipulée depuis le collège, traverse tout le livre sous des costumes différents : une fonction d'une variable réelle (chapitres 2 à 6), une suite $(u_{n})$ — qui est une fonction de $N$ vers $R$ (chapitre 1) —, une variable aléatoire $X$ — qui est une fonction de l'univers $Ω$ vers $R$ (chapitre 9) —, ou encore l'association d'un point de l'espace à son triplet de coordonnées (chapitre 8).

11.2.2 Bijection

Définition 11.10Bijection

Une fonction $f : E \to F$ est une bijection de $E$ sur $F$ lorsque tout élément $y$ de $F$ possède un antécédent et un seul dans $E$ . On peut alors définir la fonction réciproque $f^{- 1} : F \to E$ , qui à $y$ associe cet unique antécédent : pour tous $x \in E$ et $y \in F$ ,

$y = f (x) ⟺ x = f^{- 1} (y) .$

Exemple 11.11La bijection la plus visible du livre :

ln

exp

Le chapitre 4 définit le logarithme népérien exactement ainsi : la fonction exponentielle étant continue et strictement croissante de $R$ sur $] 0, + \infty [$ , l'équation $e^{y} = x$ admet, pour chaque $x > 0$ , une unique solution $y$ — que l'on baptise $ln x$ . Autrement dit, pour tous $x > 0$ et $y \in R$ :

$y = ln x ⟺ e^{y} = x, d’o u ˋ e^{l n x} = x et ln (e^{y}) = y .$

Le chapitre 5 le dit d'un mot : « $ln$ est la bijection réciproque de la fonction exponentielle ».

La bijection est aussi une technique de comptage : si l'on met deux ensembles finis en bijection, ils ont le même nombre d'éléments. C'est ainsi que le chapitre 7 démontre qu'un ensemble à $n$ éléments possède $2^{n}$ parties — se donner une partie, c'est décider pour chaque élément s'il est retenu ( $1$ ) ou non ( $0$ ), c'est-à-dire se donner un mot de ${0, 1}^{n}$ .

Exemple 11.12D'autres bijections du livre

Chapitre 2, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires — que le livre appelle d'ailleurs « théorème de la bijection » : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , l'équation $f (x) = k$ a une solution et une seule pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ . C'est exactement dire que $f$ réalise une bijection de $[a; b]$ sur $[f (a); f (b)]$ (chapitre 3, problème 3).
Chapitre 8 : le choix d'un repère met l'espace en bijection avec $R^{3}$ , chaque point ayant un et un seul triplet de coordonnées ; le plan est de même en bijection avec $R^{2}$ .

11.2.3 Composition

Définition 11.13Composée de deux fonctions

Soient $u : I \to J$ et $v : J \to R$ . La composée de $u$ suivie de $v$ , notée $v \circ u$ , est la fonction définie sur $I$ par

$(v \circ u) (x) = v (u (x)) .$

L'ordre compte : $v \circ u$ et $u \circ v$ n'ont, en général, ni le même ensemble de définition ni la même expression. Toutes les écritures $e^{u (x)}$ , $ln (u (x))$ , $u (x)$ , $(u (x))^{n}$ rencontrées aux chapitres 3, 4 et 5 sont des composées, et c'est pour cela qu'elles se dérivent avec la même formule :

$(v \circ u)^{'} = (v^{'} \circ u) \times u^{'}, d’o u ˋ (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}, (u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'} .$

Exemple 11.14Composition et réciproque

Composer une bijection avec sa réciproque redonne la variable de départ : $ln \circ exp$ et $exp \circ ln$ sont les fonctions « ne rien faire », sur $R$ et sur $] 0, + \infty [$ respectivement. C'est la traduction fonctionnelle des deux égalités $ln (e^{y}) = y$ et $e^{l n x} = x$ du chapitre 4.

11.2.4 Le symbole $Σ$

Définition 11.15Notation

Σ

Pour des nombres $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , on note

$i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .$

L'indice $i$ est muet : il ne sert qu'à décrire la somme, et $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ et $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ désignent le même nombre.

Ce symbole sert à écrire de façon concise, et rien de plus : on ne demande pas de le manipuler pour démontrer des égalités. Le livre l'emploie déjà : au chapitre 1 pour la somme $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ , au chapitre 7 pour $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ , au chapitre 9 pour la formule des probabilités totales $P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$ . Dans chacun de ces cas, la démonstration se fait par récurrence ou par un argument de dénombrement — jamais par un calcul formel sur le symbole lui-même.

11.3 Propositions, connecteurs, quantificateurs

11.3.1 Proposition mathématique

Définition 11.16Proposition

Une proposition est un énoncé mathématique dont on peut dire, sans ambiguïté, qu'il est vrai ou qu'il est faux.

« $2 + 2 = 4$ » est une proposition vraie ; « $ln (- 1)$ existe » est une proposition fausse ; « $x^{2} \geq 1$ » n'est pas une proposition tant que $x$ n'est pas fixé : c'est une proposition dépendant d'une variable, que l'on note souvent $P (x)$ . Le chapitre 1 en fait un usage constant : dans une récurrence, on commence toujours par « soit $P (n)$ la propriété : $\dots$ », et $P (n)$ n'est ni vraie ni fausse en soi — elle l'est pour chaque valeur de $n$ .

11.3.2 Les connecteurs « et » et « ou »

Définition 11.17Conjonction et disjonction

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

« $P$ et $Q$ » est vraie lorsque $P$ et $Q$ sont vraies toutes les deux.
« $P$ ou $Q$ » est vraie lorsque l'une au moins des deux est vraie — y compris lorsque les deux le sont.

Le « ou » mathématique est donc inclusif, contrairement au « ou » du langage courant (« fromage ou dessert »). Quand on écrit, au chapitre 10, que les solutions de $cos x = a$ sont

$x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π (k \in Z),$

on n'interdit nullement que les deux écritures désignent le même nombre : c'est précisément ce qui arrive lorsque $α = 0$ ou $α = π$ .

Proposition 11.18Négation d'un « et », négation d'un « ou »

La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$ ) ou (non $Q$ ) ».
La négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$ ) et (non $Q$ ) ».

Nier échange donc les deux connecteurs. Le diagramme de la page précédente le rend évident : le complémentaire de $A \cap B$ est $A \cup B$ , et le complémentaire de $A \cup B$ est $A \cap B$ .

Exemple 11.19

Le contraire de « $x \geq 2$ et $x \leq 5$ » (c'est-à-dire $x \in [2; 5]$ ) est « $x < 2$ ou $x > 5$ », c'est-à-dire $x \in] - \infty; 2 [\cup] 5; + \infty [$ . On retrouve la structure du domaine de $ln (x^{2} - 1)$ vue au chapitre 4.

11.3.3 Quantificateurs

Définition 11.20Quantification universelle et existentielle

Soit $P (x)$ une proposition dépendant d'une variable $x$ parcourant un ensemble $E$ .

La quantification universelle « pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ » affirme que $P (x)$ est vraie sans aucune exception.
La quantification existentielle « il existe $x$ dans $E$ tel que $P (x)$ » affirme qu'au moins une valeur de $x$ rend $P (x)$ vraie.

On rencontre parfois les symboles $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe ») : il faut savoir les reconnaître, mais leur usage n'est pas exigé. Dans ce livre, comme au baccalauréat, les quantifications s'écrivent en français.

Ces deux quantificateurs se combinent, et leur ordre change complètement le sens. Le chapitre 1 en donne l'exemple canonique :

Exemple 11.21Une suite majorée, chapitre 1

« La suite $(u_{n})$ est majorée » signifie :

il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq M$ .

Le $M$ est annoncé d'abord : c'est un seul et même majorant qui doit convenir pour tous les rangs. Si l'on inversait les quantificateurs — « pour tout $n$ , il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ » —, on n'affirmerait plus rien du tout : chaque terme, pris isolément, est majoré par lui-même.

Proposition 11.22Négation d'une proposition quantifiée

La négation de « pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ » est « il existe $x$ dans $E$ tel que non $P (x)$ ».
La négation de « il existe $x$ dans $E$ tel que $P (x)$ » est « pour tout $x$ de $E$ , non $P (x)$ ».

Pour nier une proposition à plusieurs quantificateurs, on les transforme un par un, dans l'ordre où ils apparaissent, et on nie la conclusion en dernier.

Méthode : Nier une proposition à un ou deux quantificateurs

Écrire la proposition en français, en faisant apparaître les quantificateurs dans leur ordre.
Remplacer chaque « pour tout » par « il existe » et chaque « il existe » par « pour tout », sans changer leur ordre.
Nier la conclusion finale ( $\leq$ devient $>$ , $=$ devient $\neq =$ , « et » devient « ou », etc.).

Exemple 11.23Une suite non majorée, chapitre 1

En appliquant la méthode à « il existe $M$ tel que pour tout $n$ , $u_{n} \leq M$ », on obtient :

pour tout réel $M$ , il existe un rang $n$ tel que $u_{n} > M$ .

C'est exactement ce que fait la démonstration du théorème « toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ » au chapitre 1 : elle part d'un réel $A$ quelconque et écrit « $A$ n'est pas un majorant : il existe donc un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ ». La négation n'y est pas un exercice de logique, c'est le premier pas de la preuve.

11.3.4 Le contre-exemple

Proposition 11.24Réfuter par un contre-exemple

Pour montrer qu'une proposition de la forme « pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ » est fausse, il suffit d'exhiber un seul élément $x_{0}$ de $E$ pour lequel $P (x_{0})$ est fausse. Un tel $x_{0}$ s'appelle un contre-exemple.

Ce n'est pas une astuce : c'est la conséquence directe de la règle de négation. Nier « pour tout $x$ , $P (x)$ », c'est affirmer « il existe $x$ tel que non $P (x)$ » — et pour établir une existence, il suffit d'exhiber un objet.

Exemple 11.25Deux contre-exemples du livre

Chapitre 2 : « toute fonction continue en $a$ y est dérivable » est fausse. Contre-exemple : $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (point anguleux).
Chapitre 1 : « toute suite bornée converge » est fausse. Contre-exemple : $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée (tous ses termes valent $1$ ou $- 1$ ) et n'admet pourtant aucune limite.

11.4 Implication, équivalence, condition nécessaire et suffisante

11.4.1 Implication, réciproque, contraposée

Définition 11.26Implication

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. L'implication « $P ⟹ Q$ » (« si $P$ alors $Q$ », « $P$ entraîne $Q$ ») affirme que chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi.

Définition 11.27Réciproque, contraposée

Soit l'implication $P ⟹ Q$ .

Sa réciproque est l'implication $Q ⟹ P$ .
Sa contraposée est l'implication (non $Q$ ) $⟹$ (non $P$ ).

◆Théorème 11.28Implication et contraposée

Une implication et sa contraposée sont toujours équivalentes : l'une est vraie exactement quand l'autre l'est. En revanche, une implication et sa réciproque sont deux énoncés indépendants : la vérité de l'une ne dit rien de celle de l'autre.

Confondre une implication avec sa réciproque est l'erreur de raisonnement la plus fréquente. C'est aussi ce qui rend le raisonnement par contraposée légitime : démontrer (non $Q$ ) $⟹$ (non $P$ ), ce n'est pas démontrer autre chose, c'est démontrer la même chose autrement.

11.4.2 Équivalence

Définition 11.29Équivalence logique

Deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, ce que l'on note $P ⟺ Q$ , lorsque $P ⟹ Q$ et $Q ⟹ P$ sont toutes deux vraies. On lit « $P$ si et seulement si $Q$ ».

Le livre est plein d'équivalences, et chacune se lit dans les deux sens :

chapitre 4 : $y = ln x ⟺ e^{y} = x$ (pour $x > 0$ et $y \in R$ ) ;
chapitre 8 : $M \in P ⟺ A M \cdot n = 0 ⟺ a x + b y + cz + d = 0$ ;
chapitre 9 : $A$ et $B$ sont indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ;
chapitre 3 : $A (a; f (a))$ est un point d'inflexion $⟺$ $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ .

Définition 11.30Propriété caractéristique

Une propriété caractéristique d'un objet ou d'un ensemble est une propriété qui lui est équivalente : elle est vérifiée par cet objet, et par lui seul. Elle permet donc de remplacer une définition par un critère utilisable en calcul.

Exemple 11.31Deux propriétés caractéristiques du livre

Chapitre 8 : le plan $P$ passant par $A$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ est caractérisé par $A M \cdot n = 0$ , c'est-à-dire par l'équation cartésienne $a x + b y + cz + d = 0$ . Cette équivalence est ce qui permet de calculer en géométrie plutôt que de dessiner.
Chapitre 3 : pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , « $f$ est convexe sur $I$ » équivaut à « $f^{''} \geq 0$ sur $I$ ». C'est cette caractérisation, et non la définition par les sécantes, que l'on utilise en pratique.

11.4.3 Condition nécessaire, condition suffisante

Définition 11.32Conditions nécessaire et suffisante

Soit une implication $P ⟹ Q$ vraie. On dit alors que :

$P$ est une condition suffisante de $Q$ (il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit) ;
$Q$ est une condition nécessaire de $P$ (si $P$ est vraie, alors $Q$ l'est forcément : $Q$ ne peut pas manquer).

Lorsque $P ⟺ Q$ , chacune est nécessaire et suffisante pour l'autre : on dit qu'elle la caractérise.

Le vocabulaire déroute souvent. Une manière sûre de s'orienter : dans une implication vraie, l'hypothèse est suffisante et la conclusion est nécessaire. Le sens de la flèche ne se devine pas, il se démontre.

Exemple 11.33Nécessaire mais pas suffisant

Chapitre 2 : la continuité en $a$ est une condition nécessaire de la dérivabilité en $a$ , mais elle n'est pas suffisante — la fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ le montre en $0$ .
Chapitre 3 : que $f^{''} (a) = 0$ est une condition nécessaire pour que $A (a; f (a))$ soit un point d'inflexion, mais elle n'est pas suffisante : il faut de plus que $f^{''}$ change de signe en $a$ . Pour $f (x) = x^{4}$ , on a $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ , qui s'annule en $0$ sans changer de signe : l'origine n'est pas un point d'inflexion.
Chapitre 2 : être continue et strictement monotone sur $[a; b]$ est une condition suffisante pour que l'équation $f (x) = k$ ait une unique solution ; ce n'est pas une condition nécessaire, une fonction non monotone pouvant très bien ne couper la droite $y = k$ qu'une seule fois.
Chapitre 9 : le livre écrit lui-même que la taille d'échantillon $n \geq 2000$ obtenue par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une condition suffisante, et non nécessaire — « en pratique un échantillon plus petit suffit souvent ».

11.5 Les types de raisonnement

11.5.1 Raisonnement par disjonction des cas

Méthode : Raisonner par disjonction des cas

Pour établir une propriété sur un ensemble $E$ , on partage $E$ en plusieurs cas qui le recouvrent entièrement et que l'on traite séparément. La conclusion vaut sur $E$ tout entier à deux conditions : aucun cas n'a été oublié, et chaque cas a été traité.

Exemple 11.34Les limites de

q^{n}

, chapitre 1

La proposition du chapitre 1 sur les suites géométriques est un raisonnement par disjonction des cas parfait : selon la position de $q$ , quatre conclusions différentes, et les quatre cas couvrent $R$ sans se chevaucher.

Le chapitre 10 procède de même pour l'équation $cos x = a$ : si $a < - 1$ ou $a > 1$ , pas de solution ; si $- 1 \leq a \leq 1$ , deux familles de solutions. Là encore, tous les réels $a$ sont couverts.

11.5.2 Raisonnement par contraposée

Méthode : Démontrer par contraposée

Pour démontrer « $P ⟹ Q$ », on peut démontrer à la place « (non $Q$ ) $⟹$ (non $P$ ) ». Les deux implications étant équivalentes, la première est établie dès que la seconde l'est. On y gagne lorsque l'hypothèse « non $Q$ » est plus maniable que $P$ .

Exemple 11.35Deux contraposées d'énoncés du livre

Chapitre 2 : de « si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ », on tire immédiatement : « si $f$ n'est pas continue en $a$ , alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ ». C'est sous cette forme que le résultat sert le plus souvent : constater une rupture de continuité dispense de tout calcul de taux d'accroissement.
Chapitre 1 : de « toute suite croissante et majorée converge », on tire : « si une suite croissante ne converge pas, alors elle n'est pas majorée ». Le chapitre 1 utilise d'ailleurs cette information sous une forme voisine pour conclure qu'une telle suite tend vers $+ \infty$ .

Le raisonnement par contraposée est cependant absent des démonstrations des dix premiers chapitres, qui procèdent toutes directement : les deux énoncés ci-dessus sont des reformulations que nous produisons ici, non des preuves recopiées du livre.

11.5.3 Raisonnement par l'absurde

Méthode : Démontrer par l'absurde

Pour démontrer qu'une proposition $P$ est vraie, on suppose qu'elle est fausse, et on en déduit par un raisonnement correct une contradiction (une proposition et son contraire, ou un énoncé manifestement faux). L'hypothèse de départ étant la seule chose qui puisse être en cause, $P$ est vraie.

Comme la contraposée, ce raisonnement ne figure pas explicitement dans les dix premiers chapitres : les démonstrations exigibles y sont toutes directes. Voici donc deux exemples construits sur des objets du livre.

Exemple 11.36La suite

((- 1)^{n})

n'admet pas de limite

Le chapitre 1 affirme ce résultat sans le démontrer. Démontrons-le par l'absurde.

Supposons que la suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ converge vers un réel $L$ . Par définition de la convergence (chapitre 1), tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Prenons l'intervalle $] L - 1; L + 1 [$ : il existe donc un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$ , $u_{n} \in] L - 1; L + 1 [$ .

Or parmi les rangs $n \geq N$ , il y en a de pairs (pour lesquels $u_{n} = 1$ ) et d'impairs (pour lesquels $u_{n} = - 1$ ). Les deux nombres $1$ et $- 1$ appartiennent donc à $] L - 1; L + 1 [$ , un intervalle de longueur $2$ . Mais deux éléments d'un intervalle de longueur $2$ sont distants de moins de $2$ , alors que $1 - (- 1) = 2$ . Contradiction.

L'hypothèse était donc fausse : la suite $((- 1)^{n})$ ne converge vers aucun réel.

Exemple 11.37Une suite croissante ne dépasse pas sa limite

Le chapitre 1 signale que la limite $L$ d'une suite croissante majorée vérifie $L \leq M$ pour tout majorant $M$ . Démontrons par l'absurde le fait voisin : si $(u_{n})$ est croissante et converge vers $L$ , alors $u_{n} \leq L$ pour tout $n$ .

Supposons le contraire : il existe un rang $p$ tel que $u_{p} > L$ . Posons $ε = u_{p} - L > 0$ . La suite étant croissante, pour tout $n \geq p$ on a $u_{n} \geq u_{p} = L + ε$ . Aucun terme de rang $\geq p$ n'appartient donc à l'intervalle ouvert $] L - ε; L + ε [$ , qui contient pourtant $L$ : la définition de la convergence vers $L$ est en défaut. Contradiction.

Donc, pour tout $n$ , $u_{n} \leq L$ .

11.5.4 Raisonnement par équivalence

Méthode : Raisonner par équivalence

Pour résoudre une équation ou une inéquation, on enchaîne des transformations réversibles, en reliant les lignes par $⟺$ . L'ensemble des solutions est alors conservé à chaque étape, et la dernière ligne donne directement la réponse.

Attention : toute transformation n'est pas réversible. Élever au carré, multiplier par une quantité de signe inconnu, appliquer une fonction non injective sont des opérations qui ne conservent en général qu'une implication. Il faut alors ou bien travailler par implications puis vérifier les solutions obtenues, ou bien justifier la réversibilité (par exemple par stricte monotonie).

Exemple 11.38Une chaîne d'équivalences du chapitre 4

Pour résoudre $ln (x^{2} - x) \leq ln 2$ , on commence par le domaine : $x^{2} - x > 0$ . Puis, la fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ — ce qui rend l'étape réversible —, le chapitre 4 écrit :

$ln (x^{2} - x) \leq ln 2 ⟺ x^{2} - x \leq 2 ⟺ x^{2} - x - 2 \leq 0.$

Sans la stricte croissance, on n'aurait eu qu'une implication.

11.5.5 Raisonnement par récurrence : sa structure logique

Le raisonnement par récurrence a été étudié et pratiqué au chapitre 1 ; il ne s'agit pas de le réapprendre, mais de lire ce que l'on y a fait avec le vocabulaire de ce chapitre.

Proposition 11.39La récurrence en langage logique

Soit $P (n)$ une proposition dépendant d'un entier $n \geq n_{0}$ .

L'énoncé à démontrer, « pour tout $n \geq n_{0}$ , $P (n)$ », est une quantification universelle : une infinité de propositions à établir d'un seul geste.
L'initialisation établit une proposition unique : $P (n_{0})$ .
L'hérédité n'établit aucune des propositions $P (n)$ : c'est la quantification universelle d'une implication, « pour tout $k \geq n_{0}$ , $P (k) ⟹ P (k + 1)$ ». On y suppose $P (k)$ pour un $k$ quelconque — c'est l'hypothèse de récurrence — et l'on en déduit $P (k + 1)$ .
Les deux réunies enclenchent une chaîne d'implications sans fin, partant de $P (n_{0})$ : c'est la conclusion.

Cette lecture explique pourquoi aucune des deux étapes ne peut être omise. Sans initialisation, la chaîne d'implications existe mais n'est jamais amorcée ; sans hérédité, on connaît un seul rang.

Exemple 11.40Une propriété héréditaire et pourtant toujours fausse

L'exercice 3 du chapitre 1 démontre que $4^{n} + 2$ est un multiple de $3$ pour tout $n \in N$ . Considérons la propriété voisine $P (n)$ : « $4^{n} + 1$ est un multiple de $3$ ».

Cette propriété est héréditaire. En effet, si $4^{k} + 1 = 3 a$ avec $a \in Z$ , alors

$4^{k + 1} + 1 = 4 \times 4^{k} + 1 = 4 (3 a - 1) + 1 = 12 a - 3 = 3 (4 a - 1),$

qui est bien un multiple de $3$ : $P (k) ⟹ P (k + 1)$ .

Et pourtant $P (n)$ est fausse pour tout $n$ : pour $n = 0$ , $4^{0} + 1 = 2$ n'est pas un multiple de $3$ ; pour $n = 1$ , $4^{1} + 1 = 5$ non plus. L'hérédité seule ne démontre donc rien : elle n'affirme que « si un domino tombe, le suivant tombe » — encore faut-il en faire tomber un.

11.6 Méthodes Clés

Méthode : Choisir son type de raisonnement

Pour montrer qu'une proposition universelle est fausse : chercher un contre-exemple.
Pour montrer une propriété portant sur tous les entiers $n \geq n_{0}$ : penser à la récurrence.
Si l'hypothèse se scinde naturellement en plusieurs situations (signe d'une expression, position d'un paramètre) : disjonction des cas.
Si l'hypothèse « non $Q$ » paraît plus concrète que $P$ : contraposée.
Si l'énoncé affirme une impossibilité ou une unicité : absurde.
Pour une équivalence (« si et seulement si ») : soit une chaîne d'équivalences, soit une double implication (les deux sens démontrés séparément).

Méthode : Démontrer une équivalence par double implication

Pour établir $P ⟺ Q$ :

Démontrer le sens direct : on suppose $P$ , on établit $Q$ .
Démontrer le sens réciproque : on suppose $Q$ , on établit $P$ .
Conclure. Rédiger clairement « Sens direct » et « Sens réciproque » : c'est ce qui prouve au correcteur que les deux sens ont bien été traités.

On procède ainsi lorsque les transformations ne sont pas réversibles ; si elles le sont, une chaîne de $⟺$ suffit et fait les deux sens à la fois.

Méthode : Écrire proprement une proposition quantifiée

Identifier l'ensemble que parcourt chaque variable ( $n \in N$ , $x \in I$ , $M \in R$ …).
Écrire les quantificateurs dans l'ordre où ils interviennent, en français.
Vérifier le sens en essayant d'échanger les deux premiers : si le sens change, l'ordre choisi est bien le bon ; s'il ne change pas, la proposition est probablement mal écrite.

11.7 Bilan du chapitre

Ce chapitre n'a rien ajouté au programme : il a nommé et rangé ce qui servait déjà.

Ensembles — $\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie deux ensembles. Les opérations $\cap$ , $\cup$ et le complémentaire $A$ (ou $E ∖ A$ ) traduisent « et », « ou » et « non ». Les intervalles sont les sous-ensembles de $R$ « d'un seul tenant » ; une réunion d'intervalles n'en est pas un.
Produit cartésien — $E \times F$ est l'ensemble des couples, $E^{n}$ celui des $n$ -uplets. C'est le socle du principe multiplicatif, donc de tout le dénombrement.
Fonctions — une fonction associe à chaque élément de départ une seule image ; c'est une bijection quand chaque élément d'arrivée a un antécédent et un seul. Mettre deux ensembles finis en bijection, c'est prouver qu'ils ont le même nombre d'éléments. La composée $v \circ u$ enchaîne deux fonctions, et sa dérivée multiplie les deux coefficients d'amplification.
Quantificateurs — « pour tout » et « il existe » ; leur ordre fait le sens. Nier, c'est les échanger tous, dans l'ordre, puis nier la conclusion. Un contre-exemple suffit à réfuter un « pour tout ».
Implication — sa contraposée lui est toujours équivalente, sa réciproque ne l'est pas. Dans une implication vraie, l'hypothèse est suffisante et la conclusion nécessaire. Une équivalence, c'est les deux sens ; une propriété caractéristique, c'est une équivalence qui remplace une définition par un critère calculable.
Raisonnements — direct, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde, par équivalence, par récurrence. Le choix se fait sur la forme de l'énoncé, jamais au hasard.

Une dernière remarque, qui vaut pour toute l'épreuve : la rigueur d'une copie ne se joue presque jamais sur le calcul, mais sur ces articulations. Écrire « donc » à la place de « réciproquement », oublier un cas dans une disjonction, confondre une condition nécessaire et une condition suffisante — voilà ce qui fait perdre des points, et voilà ce que ce chapitre apprend à ne plus faire.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices