Fonctions Trigonométriques

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 10 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre étudie les fonctions sinus et cosinus, qui modélisent les phénomènes périodiques (oscillations, ondes, signaux, marées...). Après un rappel du cercle trigonométrique, nous étudions leurs dérivées, leurs variations et leurs courbes, puis la résolution des équations et inéquations trigonométriques.

10.1 Le Cercle Trigonométrique : Rappels

Définition 10.1Cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; , )$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À tout réel $x$ , on associe l'unique point $M$ du cercle tel que l'arc orienté partant de $I (1, 0)$ ait pour longueur algébrique $x$ (le réel $x$ est une mesure en radians de l'angle $(, O M)$ ). Alors :

$cos (x) = abscisse de M et sin (x) = ordonn e ˊ e de M$

Proposition 10.2Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$cos (x)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$sin (x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$

Ces valeurs se retiennent mieux placées sur le cercle qu'apprises dans un tableau : le cosinus se lit à l'horizontale, le sinus à la verticale, et l'on voit du même coup que $cos$ décroît quand $sin$ croît sur ce quadrant.

Proposition 10.3Relations fondamentales

Pour tout réel $x$ :

$- 1 \leq cos (x) \leq 1$ et $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ ;
$cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1$ (théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique) ;
angles associés : $cos (- x) = cos (x)$ , $sin (- x) = - sin (x)$ , $cos (π - x) = - cos (x)$ , $sin (π - x) = sin (x)$ , $cos (\frac{π}{2} - x) = sin (x)$ , $sin (\frac{π}{2} - x) = cos (x)$ .

10.2 Les Fonctions Cosinus et Sinus

10.2.1 Définition et premières propriétés

Définition 10.4Fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus associent à tout réel $x$ les nombres $cos (x)$ et $sin (x)$ lus sur le cercle trigonométrique. Elles sont définies sur $R$ .

Proposition 10.5Périodicité et parité

Les fonctions $cos$ et $sin$ sont périodiques de période $2 π$ : pour tout réel $x$ ,

$cos (x + 2 π) = cos (x) et sin (x + 2 π) = sin (x)$

Il suffit donc de les étudier sur un intervalle de longueur $2 π$ , par exemple $[- π, π]$ .

La fonction $cos$ est paire ( $cos (- x) = cos (x)$ ) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction $sin$ est impaire ( $sin (- x) = - sin (x)$ ) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Ces deux propriétés se voient d'un coup d'œil, et ce sont elles qui permettent de ne travailler que sur un intervalle de longueur $2 π$ — souvent même sur sa moitié.

10.2.2 Dérivées

◆Théorème 10.6Dérivées de

cos

sin

Les fonctions $cos$ et $sin$ sont dérivables sur $R$ et, pour tout réel $x$ :

$cos^{'} (x) = - sin (x) et sin^{'} (x) = cos (x)$

Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

$(cos (u))^{'} = - u^{'} sin (u) et (sin (u))^{'} = u^{'} cos (u)$

En particulier, pour tous réels $a$ et $b$ : $(cos (a x + b))^{'} = - a sin (a x + b)$ et $(sin (a x + b))^{'} = a cos (a x + b)$ .

iRemarque

On retrouve les primitives du chapitre 6 par lecture inverse : une primitive de $sin$ est $- cos$ , une primitive de $cos$ est $sin$ .

Ces deux formules se vérifient à l'œil. Là où la sinusoïde atteint un sommet ou un creux, sa tangente est horizontale : la dérivée doit donc y valoir $0$ . Et c'est bien ce que fait $cos$ aux mêmes abscisses.

10.2.3 Variations et courbes représentatives

Proposition 10.7Variations sur

[- π, π]

Sur $[- π, π]$ , la fonction $cos$ est croissante sur $[- π, 0]$ et décroissante sur $[0, π]$ (son maximum est $cos (0) = 1$ , son minimum $cos (\pm π) = - 1$ ). En effet, $cos^{'} (x) = - sin (x)$ est positif sur $[- π, 0]$ et négatif sur $[0, π]$ .
Sur $[- π, π]$ , la fonction $sin$ est croissante sur $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ et décroissante sur $[- π, - \frac{π}{2}]$ et sur $[\frac{π}{2}, π]$ (maximum $sin (\frac{π}{2}) = 1$ , minimum $sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ ). En effet, $sin^{'} (x) = cos (x)$ .

Les courbes, appelées sinusoïdes, se déduisent l'une de l'autre par translation : $sin (x + \frac{π}{2}) = cos (x)$ .

10.3 Équations et Inéquations Trigonométriques

10.3.1 Équation $cos (x) = a$

Proposition 10.8Résolution de

cos (x) = a

Soit $a$ un réel.

Si $a < - 1$ ou $a > 1$ , l'équation $cos (x) = a$ n'a pas de solution.
Si $- 1 \leq a \leq 1$ , il existe un unique réel $α \in [0, π]$ tel que $cos (α) = a$ , et les solutions dans $R$ sont :

$x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π (k \in Z)$

Dans $[- π, π]$ , les solutions sont $α$ et $- α$ .

De même, pour $sin (x) = a$ ( $- 1 \leq a \leq 1$ ) avec $α$ tel que $sin (α) = a$ : les solutions sont $x = α + 2 k π$ ou $x = π - α + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).

Sur le cercle trigonométrique, les solutions de $cos (x) = a$ sont les deux points d'intersection du cercle avec la droite verticale d'abscisse $a$ :

Méthode : Résoudre $cos (x) \leq a$ sur $[- π, π]$

Déterminer $α \in [0, π]$ tel que $cos (α) = a$ (valeur remarquable ou calculatrice).
Visualiser sur le cercle trigonométrique : les points d'abscisse inférieure ou égale à $a$ forment l'arc « à gauche » de la droite $x = a$ (en bleu ci-dessus).
Conclure : sur $[- π, π]$ , l'ensemble des solutions de $cos (x) \leq a$ est

$S = [- π, - α] \cup [α, π]$

(et celui de $cos (x) \geq a$ est $[- α, α]$ ).

Exemple 10.9Inéquation trigonométrique

Résolvons $cos (x) \leq \frac{1}{2}$ sur $[- π, π]$ . On a $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ , donc $α = \frac{π}{3}$ . Sur le cercle, les points d'abscisse inférieure à $\frac{1}{2}$ correspondent aux angles éloignés de $0$ :

$S = [- π, - \frac{π}{3}] \cup [\frac{π}{3}, π]$

10.4 Approfondissement : la Fonction Tangente

Cette section est un approfondissement possible du programme.

Définition 10.10Fonction tangente

Pour tout réel $x$ tel que $cos (x) \neq = 0$ (c'est-à-dire $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ , $k \in Z$ ), on pose :

$tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}$

La fonction $tan$ est périodique de période $π$ , impaire, et dérivable sur chaque intervalle de son domaine avec :

$tan^{'} (x) = 1 + tan^{2} (x) = \frac{1}{cos ^{2} ( x )} > 0$

Elle est donc strictement croissante sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , avec $lim_{x \to (π /2)^{-}} tan (x) = + \infty$ et $lim_{x \to (- π /2)^{+}} tan (x) = - \infty$ .

La tangente a, elle aussi, sa lecture sur le cercle : c'est l'ordonnée du point où le prolongement du rayon rencontre la verticale d'abscisse $1$ . On comprend alors sans calcul pourquoi elle explose quand l'angle approche $\frac{π}{2}$ — le rayon devient parallèle à cette verticale — et pourquoi sa période est $π$ et non $2 π$ : un demi-tour ramène le rayon sur la même droite.

10.5 Méthodes Clés

Méthode : Étudier une fonction trigonométrique

Pour étudier une fonction $f$ construite à partir de $cos$ et $sin$ :

Réduire le domaine d'étude en exploitant la périodicité (période $2 π$ , ou moins si la fonction s'y prête) et la parité éventuelle.
Dériver avec les formules $(cos u)^{'} = - u^{'} sin (u)$ et $(sin u)^{'} = u^{'} cos (u)$ .
Étudier le signe de $f^{'}$ en résolvant des équations et inéquations trigonométriques (souvent à l'aide du cercle).
Dresser le tableau de variations sur l'intervalle d'étude, puis étendre par périodicité/parité.

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