Probabilités

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 9 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre aborde l'étude des probabilités sous l'angle du conditionnement, de la répétition d'épreuves indépendantes (la loi binomiale) et des théorèmes limites fondamentaux (inégalités de concentration et loi des grands nombres).

9.1 Conditionnement et Indépendance

9.1.1 Probabilité conditionnelle

Définition 9.1Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $Ω$ , avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ (ou $P (B ∣ A)$ ), est définie par :

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

On en déduit la relation de probabilité de l'intersection : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

Le dénominateur $P (A)$ n'est pas une complication gratuite : conditionner par $A$ , c'est changer d'univers. On efface tout ce qui se trouve hors de $A$ , et l'on remesure la part de $B$ dans ce nouvel univers rétréci. Sans la division par $P (A)$ , la somme des probabilités ne vaudrait plus $1$ .

9.1.2 Arbre pondéré et probabilités totales

Pour modéliser une expérience à étapes, on utilise un arbre pondéré :

Règles de calcul dans un arbre pondéré :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1 (par exemple $P (A) + P (A ˉ) = 1$ et $P_{A} (B) + P_{A} (B ˉ) = 1$ ).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent (par exemple $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ).

◆Théorème 9.2Formule des probabilités totales

Soit $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ une partition de l'univers $Ω$ (événements disjoints deux à deux et dont la réunion est $Ω$ ). Pour tout événement $B$ , on a :

$P (B) = P (A_{1} \cap B) + P (A_{2} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$

C'est-à-dire, si les probabilités conditionnelles sont définies :

$P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$

9.1.3 Indépendance

Définition 9.3Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Si $P (A) \neq = 0$ , cela équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ .

C'est cette seconde écriture qui porte le sens : apprendre que $A$ est réalisé ne change rien à ce que l'on croit de $B$ . Sur une figure, cela signifie que $B$ découpe $A$ dans la même proportion qu'il découpe l'univers entier.

9.2 Succession d'Épreuves Indépendantes et Loi Binomiale

9.2.1 Succession d'épreuves indépendantes

On enchaîne $n$ expériences aléatoires dont les résultats ne s'influencent pas (tirages avec remise, lancers successifs d'une pièce ou d'un dé...). Une issue de la succession est un $n$ -uplet $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ du produit cartésien $E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{n}$ des univers de chaque épreuve (voir le chapitre 7).

Proposition 9.4Probabilité d'une issue

Dans le modèle de la succession de $n$ épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ est le produit des probabilités de ses composantes :

$P ((x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})) = P (x_{1}) \times P (x_{2}) \times \dots \times P (x_{n})$

Sur un arbre, c'est la règle du produit le long d'un chemin ; l'indépendance se traduit par le fait que les probabilités portées par les branches d'une épreuve ne dépendent pas des résultats précédents.

9.2.2 Épreuve et schéma de Bernoulli

Définition 9.5Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'admettant que deux issues :

Le succès, noté $S$ , de probabilité $p$ ( $0 < p < 1$ ).
L'échec, noté $S ˉ$ , de probabilité $q = 1 - p$ .

La variable aléatoire $X$ qui associe 1 au succès et 0 à l'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Définition 9.6Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

L'arbre du schéma pour $n = 3$ contient déjà tout le raisonnement qui mène à la loi binomiale. Deux observations suffisent : d'une part, tous les chemins comportant le même nombre $k$ de succès portent la même probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; d'autre part, leur nombre est celui des façons de placer $k$ lettres $S$ dans un mot de $n$ lettres.

9.2.3 Loi Binomiale

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l'issue d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ .

◆Théorème 9.7Loi Binomiale

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $B (n, p)$ . L'ensemble des valeurs prises par $X$ est $[[0, n]]$ . Pour tout entier $k \in [[0, n]]$ , la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Démonstration ((exigible) — probabilité de

k

succès)

Une issue du schéma de Bernoulli est un mot de longueur $n$ sur l'alphabet ${S, S ˉ}$ (chapitre 7). Considérons une issue comportant exactement $k$ succès (et donc $n - k$ échecs) : par indépendance des épreuves, sa probabilité est le produit des probabilités de ses lettres, soit

$k fois p \times \dots \times p \times n - k fois (1 - p) \times \dots \times (1 - p) = p^{k} (1 - p)^{n - k}$

quel que soit l'ordre des lettres. Or le nombre d'issues comportant exactement $k$ succès est le nombre de façons de choisir la position des $k$ lettres $S$ parmi les $n$ places, soit $(k n)$ (dénombrement des mots, chapitre 7). Ces issues étant deux à deux incompatibles :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Le diagramme en bâtons de la loi $B (20; 0, 25)$ montre la concentration des probabilités autour de l'espérance $n p = 5$ :

9.3 Sommes de Variables Aléatoires

Cette section fournit les outils qui permettent (entre autres) de démontrer les indicateurs de la loi binomiale : la clé est de représenter une variable comme somme de variables plus simples.

9.3.1 Linéarité de l'espérance, additivité de la variance

Proposition 9.8Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers, et tout réel $a$ :

$E (X + Y) = E (X) + E (Y) et E (a X) = a E (X)$

Cette propriété est valable sans aucune hypothèse d'indépendance.

Proposition 9.9Variance d'une somme de variables indépendantes (admis)

Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes (par exemple associées à des épreuves distinctes d'une succession d'épreuves indépendantes), alors :

$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$

Par ailleurs, pour tout réel $a$ : $V (a X) = a^{2} V (X)$ .

Proposition 9.10Indicateurs de la loi binomiale

Si $X \sim B (n, p)$ , alors :

Espérance : $E (X) = n p$
Variance : $V (X) = n p (1 - p)$
Écart-type : $σ (X) = n p (1 - p)$

Démonstration ((exigible) — espérance et variance de la binomiale)

Écrivons $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ , où $X_{i}$ vaut $1$ si la $i$ ^e épreuve est un succès et $0$ sinon. Chaque $X_{i}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

$E (X_{i}) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$

$V (X_{i}) = E (X_{i}^{2}) - E (X_{i})^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$

(car $X_{i}^{2} = X_{i}$ , les valeurs étant $0$ ou $1$ ). Par linéarité de l'espérance :

$E (X) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = n p$

Les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ étant indépendantes (épreuves indépendantes), l'additivité de la variance donne :

$V (X) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n}) = n p (1 - p)$

9.3.2 Échantillon d'une loi de probabilité

Définition 9.11Échantillon

Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On lui associe :

$S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} (la somme) et M_{n} = \frac{S _{n}}{n} (la moyenne)$

Proposition 9.12Espérance et variance de

S_{n}

M_{n}

Si la loi commune a pour espérance $μ$ et variance $V$ (écart type $σ$ ) :

$E (S_{n}) = n μ, V (S_{n}) = nV, σ (S_{n}) = σ n$

$E (M_{n}) = μ, V (M_{n}) = \frac{V}{n}, σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$

La moyenne $M_{n}$ a la même espérance que la loi de départ, mais sa dispersion est divisée par $n$ : c'est le cœur de la loi des grands nombres de la section suivante.

9.4 Inégalités de Concentration et Loi des Grands Nombres

Dans cette section, nous étudions comment les valeurs d'une variable aléatoire se concentrent autour de son espérance, ce qui permet de justifier mathématiquement la loi des grands nombres.

9.4.1 Inégalité de Markov

L'inégalité de Markov permet de majorer la probabilité qu'une variable aléatoire positive dépasse un certain seuil.

◆Théorème 9.13Inégalité de Markov

Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive admettant une espérance $E (X)$ . Pour tout réel $a > 0$ , on a :

$P (X \geq a) \leq \frac{E ( X )}{a}$

9.4.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev applique le résultat précédent à l'écart au carré $∣ X - E (X) ∣^{2}$ pour contrôler la dispersion d'une variable aléatoire d'espérance $E (X)$ et de variance $V (X)$ autour de sa moyenne.

◆Théorème 9.14Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant une espérance $E (X)$ et une variance $V (X)$ . Pour tout réel $ϵ > 0$ , on a :

$P (∣ X - E (X) ∣ \geq ϵ) \leq \frac{V ( X )}{ϵ ^{2}}$

Ce que majore l'inégalité, ce sont les queues de la distribution : la masse de probabilité qui s'aventure loin de la moyenne. Et son intérêt est qu'elle ne suppose rien de la loi — seulement l'existence d'une variance.

9.4.3 Inégalité de concentration

En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la moyenne $M_{n}$ d'un échantillon (dont on connaît l'espérance $μ$ et la variance $\frac{V}{n}$ d'après la section précédente), on obtient :

◆Théorème 9.15Inégalité de concentration

Soit $M_{n}$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $μ$ et de variance $V$ . Pour tout réel $δ > 0$ :

$P (∣ M_{n} - μ ∣ \geq δ) \leq \frac{V}{n δ ^{2}}$

Le majorant $\frac{V}{n δ ^{2}}$ tend vers $0$ quand $n$ augmente : la moyenne d'un grand échantillon est très probablement proche de $μ$ . C'est l'origine du facteur $\frac{1}{n}$ en théorie de l'estimation (sondages).

Une seule image résume toute cette section. La distribution de $M_{n}$ reste centrée sur $μ$ quel que soit $n$ — augmenter la taille de l'échantillon ne déplace rien. Ce qui change, c'est la largeur : l'écart-type est divisé par $n$ , et la cloche se resserre.

Méthode : Déterminer une taille d'échantillon

Pour garantir $P (∣ M_{n} - μ ∣ \geq δ) \leq α$ (précision $δ$ , risque $α$ ), il suffit que $\frac{V}{n δ ^{2}} \leq α$ , c'est-à-dire :

$n \geq \frac{V}{α δ ^{2}}$

Exemple : pour une loi de Bernoulli ( $V = p (1 - p) \leq \frac{1}{4}$ ), garantir une précision $δ = 0, 05$ avec un risque $α = 5 %$ demande $n \geq \frac{1/4}{0 , 05 \times 0 , 0 5 ^{2}} = 2000$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'étant pas optimale, cette taille est une condition suffisante — en pratique un échantillon plus petit suffit souvent.

9.4.4 Loi faible des grands nombres

La loi faible des grands nombres justifie mathématiquement le fait que la moyenne de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi converge en probabilité vers leur espérance commune lorsque $n$ tend vers l'infini.

◆Théorème 9.16Loi faible des grands nombres

Soit $(X_{n})_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), admettant une espérance $μ$ et une variance $σ^{2}$ . On note $M_{n} = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}$ la moyenne de l'échantillon. Pour tout réel $ϵ > 0$ , on a :

$n \to + \infty lim P (∣ M_{n} - μ ∣ \geq ϵ) = 0$

Démonstration

D'après l'inégalité de concentration, pour tout $n \geq 1$ :

$0 \leq P (∣ M_{n} - μ ∣ \geq ϵ) \leq \frac{σ ^{2}}{n ϵ ^{2}}$

Or $lim_{n \to + \infty} \frac{σ ^{2}}{n ϵ ^{2}} = 0$ : le théorème des gendarmes donne la conclusion.

9.5 Méthodes Clés

Méthode : Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Si une variable aléatoire $X$ suit la loi $B (n, p)$ :

Pour calculer $P (X = k)$ , on applique directement la formule : $(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Pour calculer la probabilité d'avoir au moins un succès ( $P (X \geq 1)$ ), on passe par l'événement contraire :

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$

Exemple 9.17Calcul binomial

Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces 5 fois de suite. On s'intéresse à l'obtention de la face « 6 ».

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec pour succès $S$ : « obtenir un 6 » ( $p = 1/6$ ) et échec $S ˉ$ ( $q = 5/6$ ).
Les lancers sont identiques et indépendants, donc la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de « 6 » suit la loi binomiale $B (5, 1/6)$ .
La probabilité d'obtenir exactement deux « 6 » est :

$P (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3} = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0, 161$

9.6 Algorithmique et Programmation

Le programme propose notamment la simulation d'un échantillon d'une variable aléatoire et le problème de la surréservation : pour une variable binomiale $X$ et un risque $α$ , trouver le plus petit entier $k$ tel que $P (X > k) \leq α$ (par exemple, combien de places vendre au-delà de la capacité d'un avion).


from random import random

def bernoulli(p):
    # Renvoie 1 avec probabilite p, 0 sinon
    return 1 if random() < p else 0

def echantillon_binomiale(n, p, taille):
    # Simule 'taille' realisations de la loi B(n, p)
    resultats = []
    for _ in range(taille):
        succes = sum(bernoulli(p) for _ in range(n))
        resultats.append(succes)
    return resultats

# La moyenne de echantillon_binomiale(20, 0.25, 10000)
# est proche de E(X) = np = 5 (loi des grands nombres !)

Simulation d'un échantillon de B(n, p)


from math import comb

def proba_binomiale(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def surreservation(n, p, alpha):
    # Plus petit k tel que P(X > k) <= alpha
    cumul = 0          # cumul = P(X <= k)
    for k in range(n + 1):
        cumul = cumul + proba_binomiale(n, p, k)
        if 1 - cumul <= alpha:   # P(X > k) = 1 - P(X <= k)
            return k
    return n

# Exemple : un avion de 300 places, 320 billets vendus, chaque
# passager se presente avec probabilite p = 0.9 :
# surreservation(320, 0.9, 0.05) donne le seuil de securite.

Surréservation : plus petit k tel que P(X > k) <= alpha

La planche de Galton (des billes tombent sur $n$ rangées de clous, déviées à gauche ou à droite avec probabilité $\frac{1}{2}$ ) se simule de la même façon : la case d'arrivée d'une bille suit la loi $B (n, \frac{1}{2})$ , et l'histogramme des billes reproduit le diagramme en bâtons de la loi binomiale.

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