Probabilités

Cours · mathématiques (terminale), chapitre 9 · terminale, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres 10 et 0,5.

Ce chapitre aborde l'étude des probabilités sous l'angle du conditionnement, de la répétition d'épreuves indépendantes (la loi binomiale) et des théorèmes limites fondamentaux (inégalités de concentration et loi des grands nombres).

9.1 Conditionnement et Indépendance

9.1.1 Probabilité conditionnelle

Définition 9.1Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $Ω$ , avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ (ou $P (B ∣ A)$ ), est définie par :

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

On en déduit la relation de probabilité de l'intersection : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

Le dénominateur $P (A)$ n'est pas une complication gratuite : conditionner par $A$ , c'est changer d'univers. On efface tout ce qui se trouve hors de $A$ , et l'on remesure la part de $B$ dans ce nouvel univers rétréci. Sans la division par $P (A)$ , la somme des probabilités ne vaudrait plus $1$ .

9.1.2 Arbre pondéré et probabilités totales

Pour modéliser une expérience à étapes, on utilise un arbre pondéré :

Règles de calcul dans un arbre pondéré :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1 (par exemple $P (A) + P (A ˉ) = 1$ et $P_{A} (B) + P_{A} (B ˉ) = 1$ ).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent (par exemple $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ).

◆Théorème 9.2Formule des probabilités totales

Soit $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ une partition de l'univers $Ω$ (événements disjoints deux à deux et dont la réunion est $Ω$ ). Pour tout événement $B$ , on a :

$P (B) = P (A_{1} \cap B) + P (A_{2} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$

C'est-à-dire, si les probabilités conditionnelles sont définies :

$P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$

9.1.3 Indépendance

Définition 9.3Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Si $P (A) \neq = 0$ , cela équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ .

C'est cette seconde écriture qui porte le sens : apprendre que $A$ est réalisé ne change rien à ce que l'on croit de $B$ . Sur une figure, cela signifie que $B$ découpe $A$ dans la même proportion qu'il découpe l'univers entier.

9.2 Succession d'Épreuves Indépendantes et Loi Binomiale

9.2.1 Succession d'épreuves indépendantes

On enchaîne $n$ expériences aléatoires dont les résultats ne s'influencent pas (tirages avec remise, lancers successifs d'une pièce ou d'un dé...). Une issue de la succession est un $n$ -uplet $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ du produit cartésien $E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{n}$ des univers de chaque épreuve (voir le chapitre 7).

Proposition 9.4Probabilité d'une issue

Dans le modèle de la succession de $n$ épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ est le produit des probabilités de ses composantes :

$P ((x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})) = P (x_{1}) \times P (x_{2}) \times \dots \times P (x_{n})$

Sur un arbre, c'est la règle du produit le long d'un chemin ; l'indépendance se traduit par le fait que les probabilités portées par les branches d'une épreuve ne dépendent pas des résultats précédents.

9.2.2 Épreuve et schéma de Bernoulli

Définition 9.5Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'admettant que deux issues :

Le succès, noté $S$ , de probabilité $p$ ( $0 < p < 1$ ).
L'échec, noté $S ˉ$ , de probabilité $q = 1 - p$ .

La variable aléatoire $X$ qui associe 1 au succès et 0 à l'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Définition 9.6Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

L'arbre du schéma pour $n = 3$ contient déjà tout le raisonnement qui mène à la loi binomiale. Deux observations suffisent : d'une part, tous les chemins comportant le même nombre $k$ de succès portent la même probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; d'autre part, leur nombre est celui des façons de placer $k$ lettres $S$ dans un mot de $n$ lettres.

Exercices du chapitre

Conditionnement simple et arbre pondéré corrigé
Loi binomiale - calculs de probabilités corrigé
Indicateurs de la loi binomiale corrigé
Événements indépendants avec la loi binomiale corrigé
Problème — Modélisation médicale (Faux positifs et Faux négatifs) corrigé
Problème — Introduction aux chaînes de Markov à deux états corrigé

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