Géométrie dans l'espace

Cours · mathématiques (terminale), chapitre 8 · terminale, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un cube et le plan passant par trois de ses sommets.

Ce chapitre transpose les outils vectoriels et analytiques de la géométrie plane à l'espace à trois dimensions. Nous allons étudier les droites, les plans, le produit scalaire dans l'espace, et caractériser les plans par leurs équations cartésiennes.

8.1 Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace

8.1.1 Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires

La notion de vecteur du plan s'étend à l'espace : un vecteur $u$ est caractérisé par une direction, un sens et une norme, et $A B = C D$ si et seulement si $A B D C$ est un parallélogramme. La translation de vecteur $u$ est la transformation qui à tout point $M$ associe le point $M^{'}$ tel que $M M^{'} = u$ . Les règles de calcul (relation de Chasles, multiplication par un réel) sont les mêmes que dans le plan.

Définition 8.1Combinaison linéaire

Soient $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k}$ des vecteurs de l'espace et $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des réels. Le vecteur

$w = λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{k} u_{k}$

est appelé combinaison linéaire des vecteurs $u_{1}, \dots, u_{k}$ .

Définition 8.2Droite de l'espace, vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (avec $u \neq = 0$ ).
La droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $u \neq = 0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M$ et $u$ sont colinéaires : $A M = t u$ , $t \in R$ .

Un vecteur non nul engendre ainsi une direction de droites ; deux vecteurs non colinéaires engendrent une direction de plans.

8.1.2 Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur.

Définition 8.3Représentation paramétrique d'une droite

Soit $D$ la droite passant par le point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (a, b, c)$ . Un point $M (x, y, z)$ appartient à $D$ si et seulement s'il existe un réel $t$ (le paramètre) tel que $A M = t u$ . Le système d'équations suivant est appelé représentation paramétrique de la droite $D$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t (t \in R)$

Le paramètre $t$ trouble souvent : ce n'est pas une inconnue à déterminer, c'est une glissière. À chaque valeur de $t$ correspond un point de la droite, et à chaque point de la droite une valeur de $t$ . Faire varier $t$ sur $R$ , c'est balayer la droite entière.

8.1.3 Vecteurs coplanaires et définition d'un plan

Définition 8.4Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs sont dits coplanaires si leurs représentants ayant une même origine ont leurs extrémités dans un même plan.

Définition 8.5Représentation d'un plan

Un plan $P$ est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs $u$ et $v$ non colinéaires (appelés vecteurs directeurs du plan). Un point $M$ appartient à $P$ si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $s$ tels que :

$A M = t u + s v$

Une droite se décrivait avec un paramètre, un plan en réclame deux : c'est exactement ce que signifie « être de dimension 2 ». Et la condition de non-colinéarité n'est pas une formalité : si $u$ et $v$ pointaient dans la même direction, tous les points $A + t u + s v$ resteraient alignés et le « plan » s'effondrerait en une droite.

Exercices du chapitre

Coplanarité de vecteurs corrigé
Plan défini par trois points corrigé
Intersection droite-plan corrigé
Distance d'un point à un plan par projection corrigé
Projeté orthogonal d'un point sur une droite corrigé
Problème — Tétraèdre régulier et produit scalaire corrigé

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