Géométrie dans l'espace

Cours complet · mathématiques (terminale), chapitre 8 · terminale, spécialité mathématiques

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Ce chapitre transpose les outils vectoriels et analytiques de la géométrie plane à l'espace à trois dimensions. Nous allons étudier les droites, les plans, le produit scalaire dans l'espace, et caractériser les plans par leurs équations cartésiennes.

8.1 Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace

8.1.1 Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires

La notion de vecteur du plan s'étend à l'espace : un vecteur $u$ est caractérisé par une direction, un sens et une norme, et $A B = C D$ si et seulement si $A B D C$ est un parallélogramme. La translation de vecteur $u$ est la transformation qui à tout point $M$ associe le point $M^{'}$ tel que $M M^{'} = u$ . Les règles de calcul (relation de Chasles, multiplication par un réel) sont les mêmes que dans le plan.

Définition 8.1Combinaison linéaire

Soient $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k}$ des vecteurs de l'espace et $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des réels. Le vecteur

$w = λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{k} u_{k}$

est appelé combinaison linéaire des vecteurs $u_{1}, \dots, u_{k}$ .

Définition 8.2Droite de l'espace, vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (avec $u \neq = 0$ ).
La droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $u \neq = 0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M$ et $u$ sont colinéaires : $A M = t u$ , $t \in R$ .

Un vecteur non nul engendre ainsi une direction de droites ; deux vecteurs non colinéaires engendrent une direction de plans.

8.1.2 Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur.

Définition 8.3Représentation paramétrique d'une droite

Soit $D$ la droite passant par le point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (a, b, c)$ . Un point $M (x, y, z)$ appartient à $D$ si et seulement s'il existe un réel $t$ (le paramètre) tel que $A M = t u$ . Le système d'équations suivant est appelé représentation paramétrique de la droite $D$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t (t \in R)$

Le paramètre $t$ trouble souvent : ce n'est pas une inconnue à déterminer, c'est une glissière. À chaque valeur de $t$ correspond un point de la droite, et à chaque point de la droite une valeur de $t$ . Faire varier $t$ sur $R$ , c'est balayer la droite entière.

8.1.3 Vecteurs coplanaires et définition d'un plan

Définition 8.4Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs sont dits coplanaires si leurs représentants ayant une même origine ont leurs extrémités dans un même plan.

Définition 8.5Représentation d'un plan

Un plan $P$ est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs $u$ et $v$ non colinéaires (appelés vecteurs directeurs du plan). Un point $M$ appartient à $P$ si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $s$ tels que :

$A M = t u + s v$

Une droite se décrivait avec un paramètre, un plan en réclame deux : c'est exactement ce que signifie « être de dimension 2 ». Et la condition de non-colinéarité n'est pas une formalité : si $u$ et $v$ pointaient dans la même direction, tous les points $A + t u + s v$ resteraient alignés et le « plan » s'effondrerait en une droite.

8.1.4 Bases et repères de l'espace

◆Théorème 8.6Décomposition d'un vecteur sur une base

Soient $$ , $$ , $k$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace : on dit qu'ils forment une base $(, , k)$ de l'espace. Alors tout vecteur $u$ de l'espace se décompose de façon unique sous la forme :

$u = x  + y  + z k$

Les réels $(x, y, z)$ sont les coordonnées de $u$ dans la base. Si de plus $O$ est un point fixé, $(O; , , k)$ est un repère de l'espace : tout point $M$ a pour coordonnées celles du vecteur $O M$ .

iRemarque

Sur une figure, trois vecteurs forment une base dès qu'ils ne sont pas coplanaires — par exemple, trois arêtes d'un cube issues d'un même sommet. La décomposition $u = x  + y  + z k$ se lit en suivant un chemin parallèle aux axes (pointillés ci-dessus).

8.1.5 Positions relatives

Proposition 8.7Positions relatives dans l'espace

Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (sécantes ou parallèles), soit non coplanaires (elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles).
Une droite et un plan sont soit sécants (un unique point commun), soit parallèles (la droite est incluse dans le plan ou ne le rencontre pas). La droite $D$ de vecteur directeur $u$ est parallèle au plan $P$ si et seulement si $u$ est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs de $P$ .
Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints).

Le premier point est la nouveauté de l'espace, et celle qui résiste le plus à l'intuition : dans le plan, deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent nécessairement. Dans l'espace, elles peuvent parfaitement s'éviter. Un cube permet de voir les trois cas côte à côte.

8.2 Produit Scalaire et Orthogonalité dans l'Espace

Dans toute la suite, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

8.2.1 Expression analytique du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se définit comme dans le plan : deux vecteurs $u$ et $v$ sont toujours contenus dans un même plan, et l'on y calcule $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u, v)$ .

Proposition 8.8Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ de l'espace et tout réel $λ$ :

$u \cdot v = v \cdot u, u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w, (λ u) \cdot v = λ (u \cdot v)$

Définition 8.9Orthogonalité de deux vecteurs, base orthonormée

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si $u \cdot v = 0$ (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).
Une base $(, , k)$ est orthonormée si ses trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme $1$ . Un repère $(O; , , k)$ est orthonormé si sa base l'est.

Proposition 8.10Expression analytique en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, pour $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}, ∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

et la distance entre $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ est :

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

Proposition 8.11Norme d'une somme et formules de polarisation

Pour tous vecteurs $u$ et $v$ :

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$

On en déduit les formules de polarisation, qui expriment le produit scalaire à partir de normes :

$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})$

8.2.2 Orthogonalité de droites et de plans

Définition 8.12Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan

Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles ne se coupent pas nécessairement).
Une droite $D$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $P$ . Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan $P$ .

8.2.3 Projeté orthogonal

Définition 8.13Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $P$ est le point d'intersection $H$ de $P$ avec la droite passant par $M$ et orthogonale à $P$ .
Le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $D$ est le point d'intersection $H$ de $D$ avec le plan passant par $M$ et orthogonal à $D$ .

◆Théorème 8.14Le projeté orthogonal est le point le plus proche

Soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $P$ . Alors $H$ est le point de $P$ le plus proche de $M$ : pour tout point $P \in P$ distinct de $H$ , on a $M P > M H$ . La distance $M H$ est appelée distance de $M$ au plan $P$ .

Démonstration ((exigible))

Soit $P$ un point quelconque de $P$ , distinct de $H$ . La droite $(M H)$ est orthogonale au plan $P$ , donc à toutes les droites de $P$ , en particulier à la droite $(H P)$ . Le triangle $M H P$ est donc rectangle en $H$ , et le théorème de Pythagore donne :

$M P^{2} = M H^{2} + H P^{2}$

Comme $P \neq = H$ , on a $H P^{2} > 0$ , d'où $M P^{2} > M H^{2}$ puis $M P > M H$ (les distances étant positives).

8.3 Équation Cartésienne d'un Plan

8.3.1 Vecteur normal à un plan

Définition 8.15Vecteur normal

On dit qu'un vecteur non nul $n$ est un vecteur normal au plan $P$ si la droite dirigée par $n$ est orthogonale au plan $P$ . Le vecteur $n$ est alors orthogonal à tout vecteur directeur du plan $P$ .

8.3.2 Équation cartésienne

◆Théorème 8.16Équation cartésienne d'un plan

Tout plan $P$ admettant un vecteur normal $n (a, b, c)$ possède une équation cartésienne de la forme :

$a x + b y + cz + d = 0$

où $d$ est un réel.

Réciproquement, pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ non tous nuls, l'ensemble des points $M (x, y, z)$ tels que $a x + b y + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $n (a, b, c)$ .

Démonstration ((exigible) — équation du plan passant par

A

et normal à

n

)

Soit $P$ le plan passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ . Un point $M (x, y, z)$ appartient à $P$ si et seulement si $A M$ est orthogonal à $n$ :

$M \in P ⟺ A M \cdot n = 0$

Or $A M (x - x_{A}, y - y_{A}, z - z_{A})$ , donc en repère orthonormé :

$A M \cdot n = a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = a x + b y + cz + d$

en posant $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ . Ainsi $M \in P ⟺ a x + b y + cz + d = 0$ .

Proposition 8.17Distance d'un point à un plan

Dans un repère orthonormé, la distance du point $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ au plan $P$ d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ est :

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

(C'est la longueur $M_{0} H$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur $P$ — l'exercice « Distance d'un point à un plan par projection » retrouve ce résultat par le calcul explicite de $H$ .)

8.4 Méthodes Clés

Méthode : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Pour déterminer l'équation cartésienne d'un plan $P$ passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ :

L'équation du plan est de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
On remplace $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées de $A$ pour déterminer la constante $d$ :

$a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d = 0 ⟹ d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$

On écrit l'équation finale obtenue.

Exemple 8.18Équation de plan

Soit le plan $P$ passant par $A (1, - 2, 3)$ et de vecteur normal $n (2, 1, - 1)$ .

Comme $n (2, 1, - 1)$ est normal à $P$ , l'équation est de la forme : $2 x + y - z + d = 0$ .
Le point $A (1, - 2, 3)$ appartient au plan, donc :

$2 (1) + (- 2) - 3 + d = 0 ⟺ 2 - 2 - 3 + d = 0 ⟺ d = 3$

L'équation cartésienne du plan $P$ est donc :

$2 x + y - z + 3 = 0$

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