Changements de référentiel

Cours · mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux référentiels : le repère R′ est en mouvement par rapport au repère R.

Toute la cinématique et la dynamique élémentaires reposent sur un présupposé implicite : le choix d'un observateur, c'est-à-dire d'un référentiel. La vitesse d'un voyageur assis dans un train est nulle pour un passager voisin, mais vaut plusieurs centaines de kilomètres par heure pour un piéton resté sur le quai. Décrire un même mouvement depuis deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, puis relier les deux descriptions, constitue l'objet des changements de référentiel.

Ce chapitre établit les deux lois de composition fondamentales de la cinématique : la composition des vitesses et la composition des accélérations. Cette dernière fait apparaître un terme nouveau, l'accélération de Coriolis, qui n'a pas d'équivalent lorsque le référentiel relatif est en translation, et qui gouvernera, au chapitre suivant, la dynamique dans les référentiels non galiléens (déviation vers l'est, pendule de Foucault, vents géostrophiques, équilibre d'un liquide dans un récipient accéléré ou tournant). Conformément au programme, la cinématique des changements de référentiel n'est pas étudiée pour elle-même, mais en vue de ses applications en dynamique du point ou des fluides. Deux situations seulement sont étudiées : un référentiel en translation par rapport à un autre (avec le cas particulier de la translation rectiligne uniforme, qui conduit à la transformation de Galilée), et un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe.

1.1 Référentiel absolu, référentiel relatif

1.1.1 Deux observateurs pour un même mouvement

On considère un point matériel $M$ dont on veut décrire le mouvement. On dispose de deux référentiels :

un référentiel $R$ , muni d'un repère $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , que l'on qualifie de référentiel absolu (par convention, celui que l'on considère comme « fixe ») ;
un référentiel $R^{'}$ , muni d'un repère $(O^{'}, e_{x}^{'}, e_{y}^{'}, e_{z}^{'})$ , qui est en mouvement par rapport à $R$ : c'est le référentiel relatif.

Définition 1.1Grandeurs absolues et relatives

La position, la vitesse et l'accélération de $M$ mesurées dans le référentiel $R$ sont dites absolues ; celles mesurées dans $R^{'}$ sont dites relatives. On note ainsi

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R}, v_{r} (M) = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}},$

la notation $\frac{d}{d t}_{R}$ signifiant que la dérivation est effectuée en considérant comme fixes les vecteurs de la base de $R$ . La date $t$ est la même pour les deux observateurs : c'est l'hypothèse du temps absolu de la mécanique classique, discutée avec la transformation de Galilée.

Attention

Les qualificatifs « absolu » et « relatif » sont purement conventionnels : ils désignent simplement lequel des deux référentiels on choisit comme référence. Aucun référentiel n'est absolu au sens physique du terme. On choisit en pratique comme référentiel absolu celui dans lequel les lois de la dynamique s'écrivent le plus simplement (souvent un référentiel supposé galiléen).

Figure : Le point

M

repéré dans le référentiel absolu

R

et dans le

référentiel relatif $R^{'}$ , dont l'origine $O^{'}$ et les axes sont en

mouvement. La relation de Chasles donne

O M = O O^{'} + O^{'} M

1.1.2 Le point coïncident

Pour relier les mesures faites dans les deux référentiels, on introduit une construction essentielle : le point coïncident.

Définition 1.2Point coïncident

À chaque instant $t$ , le point coïncident $P$ (ou point coïncidant) est le point, fixe dans le référentiel relatif $R^{'}$ , qui occupe à cet instant la même position que $M$ . Autrement dit, $P$ est le point de $R^{'}$ superposé à $M$ à l'instant considéré, mais qui, contrairement à $M$ , reste lié à $R^{'}$ .

La vitesse et l'accélération de ce point coïncident, mesurées dans le référentiel absolu, définissent respectivement la vitesse et l'accélération d'entraînement : elles traduisent l'effet du seul mouvement de $R^{'}$ par rapport à $R$ , indépendamment du mouvement propre de $M$ dans $R^{'}$ .

1.2 Dérivation d'un vecteur dans deux référentiels

iRemarqueOutil, hors capacités exigibles en PC

Cette section présente un outil commode : le vecteur rotation d'un référentiel quelconque et la formule de dérivation de Bour, qui démontrent d'un seul coup les lois de composition. Ni l'un ni l'autre n'est exigible. Les deux situations étudiées (translation, rotation uniforme autour d'un axe fixe) se traitent sans eux : les démonstrations directes sont données dans la section « Cas particuliers importants », et l'on n'emploie ensuite que $Ω = 0$ (translation) ou $Ω = Ω e_{z}$ constant (rotation uniforme autour de l'axe $O z$ ).

1.2.1 Vecteur rotation

Le mouvement le plus général de $R^{'}$ par rapport à $R$ se décompose à chaque instant en une translation (mouvement de $O^{'}$ ) et une rotation instantanée des axes de $R^{'}$ . Cette rotation est caractérisée par un vecteur unique.

Définition 1.3Vecteur rotation

Il existe un vecteur $Ω$ , appelé vecteur rotation (ou vecteur taux de rotation) de $R^{'}$ par rapport à $R$ , tel que la dérivée dans $R$ de tout vecteur $e^{'}$ fixe dans $R^{'}$ s'écrive

$\frac{d e ^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e^{'} .$

Sa direction est celle de l'axe instantané de rotation, son sens est donné par la règle du tire-bouchon, et sa norme vaut la vitesse angulaire de rotation, en $r a d . s^{- 1}$ . On le note $Ω_{R^{'} / R}$ .

Exemple 1.4Rotation autour d'un axe fixe

Si $R^{'}$ tourne autour de l'axe $O z$ commun aux deux référentiels, à la vitesse angulaire $θ ˙$ , alors $Ω = θ ˙ e_{z}$ . Pour $e_{x}^{'} = cos θ e_{x} + sin θ e_{y}$ , on vérifie directement

$\frac{d e _{x}^{'}}{d t}_{R} = θ ˙ (- sin θ e_{x} + cos θ e_{y}) = θ ˙ e_{y}^{'} = θ ˙ e_{z} \land e_{x}^{'} = Ω \land e_{x}^{'} .$

1.2.2 Formule de dérivation vectorielle

◆Théorème 1.5Formule de Bour

Pour tout vecteur $A (t)$ , les dérivées dans les deux référentiels sont reliées par

$\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω_{R^{'} / R} \land A$

Démonstration (Démonstration)

Décomposons $A$ sur la base mobile : $A = A_{x} e_{x}^{'} + A_{y} e_{y}^{'} + A_{z} e_{z}^{'}$ . En dérivant dans $R$ , les composantes $A_{i}$ (scalaires) se dérivent de la même façon dans les deux référentiels, mais les vecteurs de base varient :

$\frac{d A}{d t}_{R} = i \sum A ˙_{i} e_{i}^{'} + i \sum A_{i} \frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} .$

Le premier terme est précisément la dérivée relative $\frac{d A}{d t}_{R^{'}}$ (dérivée à base fixe). Dans le second, $\frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e_{i}^{'}$ , d'où par linéarité du produit vectoriel $\sum_{i} A_{i} (Ω \land e_{i}^{'}) = Ω \land A$ .

iRemarque

Si $A$ est colinéaire à $Ω$ , ou si la rotation est nulle ( $Ω = 0$ , translation), les deux dérivées coïncident.

1.3 Composition des vitesses

1.3.1 Loi de composition

Partons de la relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ et dérivons-la dans le référentiel absolu $R$ :

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R} = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R} + \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} .$

On applique la formule de Bour au second terme avec $A = O^{'} M$ :

$\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}} + Ω \land O^{'} M = v_{r} (M) + Ω \land O^{'} M .$

En regroupant :

$v_{a} (M) = relative v_{r} (M) + entra ı ˆ nement v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M,$

où $v (O^{'}) = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R}$ est la vitesse de $O^{'}$ dans $R$ . Les deux cas étudiés sont démontrés sans la formule de Bour dans la section « Cas particuliers importants ».

◆Théorème 1.6Composition des vitesses

$v_{a} (M) = v_{r} (M) + v_{e} (M) avec v_{e} (M) = v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M .$

La vitesse d'entraînement $v_{e} (M)$ est la vitesse, dans $R$ , du point coïncident $P$ lié à $R^{'}$ : c'est la vitesse qu'aurait $M$ s'il était immobile dans $R^{'}$ .

Important

La vitesse d'entraînement dépend du point considéré (à travers $O^{'} M$ ) : c'est un champ de vecteurs, celui des vitesses du solide $R^{'}$ . En revanche, elle ne dépend pas du mouvement propre de $M$ : deux points matériels passant au même endroit au même instant ont la même vitesse d'entraînement.

1.3.2 Interprétation

Figure : Cas d'un référentiel

R^{'}

en rotation autour de l'axe fixe

$O^{'} z$ ( $O^{'}$ immobile dans $R$ ), vu de dessus : $Ω = Ω e_{z}$ est perpendiculaire au plan de la figure et pointe vers le lecteur ( $⊙$ ), le disque tourne dans le sens trigonométrique. La vitesse d'entraînement d'un point

M

est orthoradiale, de norme

Ω r

où

r

est la distance à l'axe.

Exemple 1.7Enfant sur un manège

Un manège tourne à $Ω = 0, 80 r a d . s^{- 1}$ . Un enfant assis à $r = 3, 0 m$ de l'axe est immobile dans le référentiel $R^{'}$ du manège : sa vitesse relative est nulle. Sa vitesse dans le référentiel du sol se réduit donc à la vitesse d'entraînement, orthoradiale, de norme

$v_{e} = Ω r = 0, 80 \times 3, 0 = 2, 4 m . s^{- 1} .$

1.4 Composition des accélérations

1.4.1 Loi de composition et accélération de Coriolis

On dérive à nouveau la loi de composition des vitesses dans $R$ , dans les deux situations étudiées, où le vecteur rotation $Ω$ est constant. Le calcul fait intervenir deux fois la formule de Bour et fait apparaître un terme croisé caractéristique ; il est refait sans cet outil, pour chacun des deux cas, dans la section suivante.

◆Théorème 1.8Composition des accélérations

Si $R^{'}$ est en translation ( $Ω = 0$ ) ou en rotation uniforme autour d'un axe fixe ( $Ω$ constant) par rapport à $R$ ,

$a_{a} (M) = a_{r} (M) + a_{e} (M) + a_{c} (M)$

avec l'accélération d'entraînement

$a_{e} (M) = a (O^{'}) + Ω \land (Ω \land O^{'} M),$

et l'accélération de Coriolis (ou accélération complémentaire)

$a_{c} (M) = 2 Ω \land v_{r} (M) .$

Démonstration (Démonstration)

On part de $v_{a} = v (O^{'}) + v_{r} + Ω \land O^{'} M$ et on dérive dans $R$ .

$∙$ $\frac{d v ( O ^{'} )}{d t}_{R} = a (O^{'})$ .

$∙$ Pour $v_{r}$ , la formule de Bour donne $\frac{d v _{r}}{d t}_{R} = \frac{d v _{r}}{d t}_{R^{'}} + Ω \land v_{r} = a_{r} + Ω \land v_{r}$ .

$∙$ Pour $Ω \land O^{'} M$ , avec $Ω$ constant,

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω \land \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R},$

et, d'après la formule de Bour, $\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = v_{r} + Ω \land O^{'} M$ , d'où

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω \land v_{r} + Ω \land (Ω \land O^{'} M) .$

En sommant les trois contributions, les deux termes $Ω \land v_{r}$ s'additionnent pour donner $2 Ω \land v_{r}$ . On regroupe alors les termes indépendants de $v_{r}$ (accélération d'entraînement), le terme $a_{r}$ (relative) et le terme croisé (Coriolis).

iRemarqueCadre du programme

Le programme se limite à deux situations : $R^{'}$ en translation ( $Ω = 0$ ), ou en rotation uniforme autour d'un axe fixe ( $Ω$ constant, $O^{'}$ choisi sur l'axe). Si le vecteur rotation variait, l'accélération d'entraînement comporterait un terme supplémentaire $\frac{d Ω}{d t} \land O^{'} M$ : une rotation non uniforme est hors programme.

ImportantStructure des trois termes

$a_{r}$ : accélération propre de $M$ dans $R^{'}$ .
$a_{e}$ : accélération, dans $R$ , du point coïncident $P$ fixe dans $R^{'}$ . Elle ne dépend pas de $v_{r}$ .
$a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ : n'existe que si $M$ bouge dans $R^{'}$ ( $v_{r} \neq = 0$ ) et si $R^{'}$ tourne ( $Ω \neq = 0$ ). Elle est toujours orthogonale à $v_{r}$ et à $Ω$ .

Attention

Contrairement à la vitesse, l'accélération ne se compose pas simplement en somme relative + entraînement : le terme de Coriolis $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ est irréductible dès que $R^{'}$ tourne. L'oublier est l'erreur la plus fréquente.

1.5 Cas particuliers importants

1.5.1 Référentiel en translation

Proposition 1.9Translation

Si $R^{'}$ est en translation par rapport à $R$ , ses axes gardent une direction fixe : $Ω = 0$ . Alors

$v_{e} = v (O^{'}), a_{e} = a (O^{'}), a_{c} = 0 .$

La vitesse et l'accélération d'entraînement sont uniformes (identiques en tout point), égales à celles de $O^{'}$ , et l'accélération de Coriolis est nulle.

Démonstration (Démonstration directe)

Écrivons $O^{'} M = x^{'} e_{x}^{'} + y^{'} e_{y}^{'} + z^{'} e_{z}^{'}$ . En translation, les vecteurs $e_{i}^{'}$ sont fixes dans $R$ comme dans $R^{'}$ : dériver $O^{'} M$ dans l'un ou l'autre référentiel revient à dériver ses composantes, donc $\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = x ˙^{'} e_{x}^{'} + y ˙^{'} e_{y}^{'} + z ˙^{'} e_{z}^{'} = v_{r}$ . La relation de Chasles dérivée dans $R$ donne $v_{a} = v (O^{'}) + v_{r}$ , et une seconde dérivation $a_{a} = a (O^{'}) + a_{r}$ . Le point coïncident $P$ , fixe dans $R^{'}$ ( $v_{r} = a_{r} = 0$ ), a donc la vitesse $v (O^{'})$ et l'accélération $a (O^{'})$ : ce sont $v_{e}$ et $a_{e}$ , les mêmes pour tous les points de $R^{'}$ .

iRemarque

Une translation n'est pas nécessairement rectiligne : l'origine $O^{'}$ peut décrire une courbe quelconque (translation circulaire, par exemple une nacelle de grande roue qui reste verticale). Ce qui la caractérise, c'est que les axes ne tournent pas : $Ω = 0$ .

Figure : Translation circulaire : la nacelle d'une grande roue reste verticale. Son origine

$O^{'}$ décrit un cercle, mais les axes du référentiel de la nacelle gardent une direction fixe : $Ω = 0$ , donc $v_{e} = v (O^{'})$ , $a_{e} = a (O^{'})$ et

a_{c} = 0

, bien que la trajectoire de

O^{'}

soit courbe.

Exemple 1.10Voyageur sur un tapis roulant

Un tapis roulant d'aéroport se déplace en translation rectiligne à $v (O^{'}) = V e_{x}$ avec $V = 1, 0 m . s^{- 1}$ . Un voyageur y marche à la vitesse relative $v_{r} = u e_{x}$ , $u = 1, 5 m . s^{- 1}$ . Sa vitesse absolue est

$v_{a} = (u + V) e_{x} = 2, 5 m . s^{- 1} e_{x} .$

S'il marche à vitesse constante, $a_{r} = 0$ ; le tapis étant uniforme, $a (O^{'}) = 0$ , donc $a_{a} = 0$ : aucune accélération de Coriolis puisque $Ω = 0$ .

1.5.2 Translation rectiligne uniforme : transformation de Galilée

Supposons maintenant $R^{'}$ en translation rectiligne uniforme à la vitesse constante $V = V e_{x}$ par rapport à $R$ , avec des axes parallèles et $O^{'}$ confondu avec $O$ à la date $t = 0$ . Deux hypothèses, que la mécanique classique tient pour évidentes, fondent la relation entre les descriptions des deux observateurs.

La relation de Chasles : les deux observateurs mesurent les mêmes longueurs, et $O M = O O^{'} + O^{'} M$ avec $O O^{'} = V t$ .
Le temps absolu : une fois leurs horloges synchronisées, les deux observateurs attribuent la même date à un même événement, $t^{'} = t$ ; les durées ne dépendent pas du référentiel.

Proposition 1.11Transformation de Galilée

Un événement repéré par $(x, y, z, t)$ dans $R$ l'est par $(x^{'}, y^{'}, z^{'}, t^{'})$ dans $R^{'}$ , avec

$x^{'} = x - V t, y^{'} = y, z^{'} = z, t^{'} = t soit r^{'} = r - V t .$

Il en découle la composition des vitesses et l'égalité des accélérations :

$v_{a} = v_{r} + V, a_{a} = a_{r} .$

Démonstration (Démonstration)

Les trois premières relations sont les composantes de la relation de Chasles, $O M = V t + O^{'} M$ , sur des axes parallèles ; la quatrième est l'hypothèse du temps absolu. Pour obtenir la vitesse relative, il faut dériver $x^{'}$ par rapport à la date $t^{'}$ de l'observateur de $R^{'}$ . C'est parce que $t^{'} = t$ que cette dérivée se calcule avec la date de $R$ :

$\frac{d x ^{'}}{d t ^{'}} = \frac{d x ^{'}}{d t} = \frac{d x}{d t} - V, \frac{d y ^{'}}{d t ^{'}} = \frac{d y}{d t}, \frac{d z ^{'}}{d t ^{'}} = \frac{d z}{d t},$

soit $v_{r} = v_{a} - V$ . Une seconde dérivation, $V$ étant constant, donne $a_{r} = a_{a}$ .

Figure : Transformation de Galilée. À la date

t

, commune aux deux observateurs

(temps absolu), l'origine $O^{'}$ du référentiel $R^{'}$ , en translation rectiligne uniforme à la vitesse $V$ , est en $x = V t$ ; la relation de Chasles

sur l'axe donne

x = x^{'} + V t

ImportantGalilée et la dynamique

Deux référentiels en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre mesurent la même accélération : ils sont dynamiquement équivalents. Si l'un est galiléen, l'autre l'est aussi, et la deuxième loi de Newton y prend la même forme, avec les mêmes forces.

iRemarqueLimite de validité

La relativité restreinte abandonne l'hypothèse du temps absolu : la transformation de Lorentz remplace celle de Galilée, et les vitesses ne s'additionnent plus (la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels galiléens). Les écarts relatifs entre les deux théories sont de l'ordre de $(V / c)^{2}$ , soit $1 0^{- 12}$ pour un avion à $300 m . s^{- 1}$ : la transformation de Galilée est excellente à toutes les vitesses de la mécanique usuelle.

1.5.3 Référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe

C'est le cas le plus riche et le plus utile pour la dynamique non galiléenne. On suppose $O^{'} = O$ fixe, l'axe de rotation $O z$ fixe, et $Ω = Ω e_{z}$ constant.

Proposition 1.12Rotation uniforme

Avec $a (O^{'}) = 0$ et $Ω$ constant, la vitesse d'entraînement vaut $v_{e} = Ω \land O M = Ω r e_{θ}$ , et l'accélération d'entraînement se réduit au terme centripète :

$a_{e} = Ω \land (Ω \land O M) = - Ω^{2} H M,$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe de rotation. Elle est dirigée de $M$ vers l'axe (axipète), de norme $Ω^{2} r$ avec $r = H M$ . L'accélération de Coriolis vaut $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ .

Démonstration (Démonstration du terme centripète)

En notant $O M = O H + H M$ avec $O H$ parallèle à $Ω$ , on a $Ω \land O M = Ω \land H M$ (le terme axial disparaît). Puis $Ω \land (Ω \land H M)$ : par la formule du double produit vectoriel $a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ , avec $Ω \cdot H M = 0$ , il reste $- Ω^{2} H M$ .

Démonstration (Démonstration directe, en coordonnées cylindriques)

Repérons $M$ par ses coordonnées cylindriques d'axe $O z$ : $(r, θ, z)$ dans $R$ , $(r, θ^{'}, z)$ dans $R^{'}$ , l'angle étant compté à partir de $e_{x}$ dans $R$ et de $e_{x}^{'}$ , qui tourne à la vitesse angulaire $Ω$ , dans $R^{'}$ : $θ = θ^{'} + Ω t$ . Les deux observateurs voient au même instant les mêmes vecteurs $e_{r}$ , $e_{θ}$ , $e_{z}$ (ils ne dépendent que de la position de $M$ ). Les formules de cinématique en coordonnées cylindriques valent dans chaque référentiel, avec son propre angle :

$v_{a} = r ˙ e_{r} + r θ ˙ e_{θ} + z ˙ e_{z}, v_{r} = r ˙ e_{r} + r θ ˙^{'} e_{θ} + z ˙ e_{z},$

$a_{a} = (r ¨ - r θ ˙^{2}) e_{r} + (r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙) e_{θ} + z ¨ e_{z}, a_{r} = (r ¨ - r θ ˙^{'2}) e_{r} + (r θ ¨^{'} + 2 r ˙ θ ˙^{'}) e_{θ} + z ¨ e_{z} .$

Avec $θ ˙ = θ ˙^{'} + Ω$ et $θ ¨ = θ ¨^{'}$ : $v_{a} - v_{r} = r Ω e_{θ} = v_{e}$ , puis

$a_{a} - a_{r} = a_{e} = - Ω^{2} H M - r Ω^{2} e_{r} + a_{c} = 2Ω e_{z} \land v_{r} 2Ω (r ˙ e_{θ} - r θ ˙^{'} e_{r}) .$

On retrouve terme à terme la composition des accélérations, sans vecteur rotation général ni formule de Bour.

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