Changements de référentiel

Cours complet · mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année)

Toute la cinématique et la dynamique élémentaires reposent sur un présupposé implicite : le choix d'un observateur, c'est-à-dire d'un référentiel. La vitesse d'un voyageur assis dans un train est nulle pour un passager voisin, mais vaut plusieurs centaines de kilomètres par heure pour un piéton resté sur le quai. Décrire un même mouvement depuis deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, puis relier les deux descriptions, constitue l'objet des changements de référentiel.

Ce chapitre établit les deux lois de composition fondamentales de la cinématique : la composition des vitesses et la composition des accélérations. Cette dernière fait apparaître un terme nouveau, l'accélération de Coriolis, qui n'a pas d'équivalent classique et qui gouvernera, au chapitre suivant, la dynamique dans les référentiels non galiléens (déviation vers l'est, pendule de Foucault, vents géostrophiques). Conformément au programme, la cinématique des changements de référentiel n'est pas étudiée pour elle-même, mais en vue de ses applications en dynamique du point et des fluides.

1.1 Référentiel absolu, référentiel relatif

1.1.1 Deux observateurs pour un même mouvement

On considère un point matériel $M$ dont on veut décrire le mouvement. On dispose de deux référentiels :

un référentiel $R$ , muni d'un repère $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , que l'on qualifie de référentiel absolu (par convention, celui que l'on considère comme « fixe ») ;
un référentiel $R^{'}$ , muni d'un repère $(O^{'}, e_{x}^{'}, e_{y}^{'}, e_{z}^{'})$ , qui est en mouvement par rapport à $R$ : c'est le référentiel relatif.

Définition 1.1Grandeurs absolues et relatives

La position, la vitesse et l'accélération de $M$ mesurées dans le référentiel $R$ sont dites absolues ; celles mesurées dans $R^{'}$ sont dites relatives. On note ainsi

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R}, v_{r} (M) = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}},$

la notation $\frac{d}{d t}_{R}$ signifiant que la dérivation est effectuée en considérant comme fixes les vecteurs de la base de $R$ .

Attention

Les qualificatifs « absolu » et « relatif » sont purement conventionnels : ils désignent simplement lequel des deux référentiels on choisit comme référence. Aucun référentiel n'est absolu au sens physique du terme. On choisit en pratique comme référentiel absolu celui dans lequel les lois de la dynamique s'écrivent le plus simplement (souvent un référentiel supposé galiléen).

Figure : Le point

M

repéré dans le référentiel absolu

R

et dans le

référentiel relatif $R^{'}$ , dont l'origine $O^{'}$ et les axes sont en mouvement. La relation de Chasles donne $O M = O O^{'} + O^{'} M$ .</div>

1.1.2 Le point coïncident

Pour relier les mesures faites dans les deux référentiels, on introduit une construction essentielle : le point coïncident.

Définition 1.2Point coïncident

À chaque instant $t$ , le point coïncident $P$ (ou point coïncidant) est le point, fixe dans le référentiel relatif $R^{'}$ , qui occupe à cet instant la même position que $M$ . Autrement dit, $P$ est le point de $R^{'}$ superposé à $M$ à l'instant considéré, mais qui, contrairement à $M$ , reste lié à $R^{'}$ .

La vitesse et l'accélération de ce point coïncident, mesurées dans le référentiel absolu, définissent respectivement la vitesse et l'accélération d'entraînement : elles traduisent l'effet du seul mouvement de $R^{'}$ par rapport à $R$ , indépendamment du mouvement propre de $M$ dans $R^{'}$ .

1.2 Dérivation d'un vecteur dans deux référentiels

1.2.1 Vecteur rotation

Le mouvement le plus général de $R^{'}$ par rapport à $R$ se décompose à chaque instant en une translation (mouvement de $O^{'}$ ) et une rotation instantanée des axes de $R^{'}$ . Cette rotation est caractérisée par un vecteur unique.

Définition 1.3Vecteur rotation

Il existe un vecteur $Ω$ , appelé vecteur rotation (ou vecteur taux de rotation) de $R^{'}$ par rapport à $R$ , tel que la dérivée dans $R$ de tout vecteur $e^{'}$ fixe dans $R^{'}$ s'écrive

$\frac{d e ^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e^{'} .$

Sa direction est celle de l'axe instantané de rotation, son sens est donné par la règle du tire-bouchon, et sa norme vaut la vitesse angulaire de rotation, en $r a d . s^{- 1}$ . On le note $Ω_{R^{'} / R}$ .

Exemple 1.4Rotation autour d'un axe fixe

Si $R^{'}$ tourne autour de l'axe $O z$ commun aux deux référentiels, à la vitesse angulaire $θ ˙$ , alors $Ω = θ ˙ e_{z}$ . Pour $e_{x}^{'} = cos θ e_{x} + sin θ e_{y}$ , on vérifie directement

$\frac{d e _{x}^{'}}{d t}_{R} = θ ˙ (- sin θ e_{x} + cos θ e_{y}) = θ ˙ e_{y}^{'} = θ ˙ e_{z} \land e_{x}^{'} = Ω \land e_{x}^{'} .$

1.2.2 Formule de dérivation vectorielle

◆Théorème 1.5Formule de Bour

Pour tout vecteur $A (t)$ , les dérivées dans les deux référentiels sont reliées par

$\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω_{R^{'} / R} \land A$

Démonstration (Démonstration)

Décomposons $A$ sur la base mobile : $A = A_{x} e_{x}^{'} + A_{y} e_{y}^{'} + A_{z} e_{z}^{'}$ . En dérivant dans $R$ , les composantes $A_{i}$ (scalaires) se dérivent de la même façon dans les deux référentiels, mais les vecteurs de base varient :

$\frac{d A}{d t}_{R} = i \sum A ˙_{i} e_{i}^{'} + i \sum A_{i} \frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} .$

Le premier terme est précisément la dérivée relative $\frac{d A}{d t}_{R^{'}}$ (dérivée à base fixe). Dans le second, $\frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e_{i}^{'}$ , d'où par linéarité du produit vectoriel $\sum_{i} A_{i} (Ω \land e_{i}^{'}) = Ω \land A$ .

iRemarque

Si $A$ est colinéaire à $Ω$ , ou si la rotation est nulle ( $Ω = 0$ ), les deux dérivées coïncident. En particulier, le vecteur rotation a la même dérivée dans les deux référentiels : $\frac{d Ω}{d t}_{R} = \frac{d Ω}{d t}_{R^{'}}$ .

1.3 Composition des vitesses

1.3.1 Loi de composition

Partons de la relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ et dérivons-la dans le référentiel absolu $R$ :

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R} = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R} + \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} .$

On applique la formule de Bour au second terme avec $A = O^{'} M$ :

$\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}} + Ω \land O^{'} M = v_{r} (M) + Ω \land O^{'} M .$

En regroupant :

$v_{a} (M) = relative v_{r} (M) + entra ı ˆ nement v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M,$

où $v (O^{'}) = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R}$ est la vitesse de $O^{'}$ dans $R$ .

◆Théorème 1.6Composition des vitesses

$v_{a} (M) = v_{r} (M) + v_{e} (M) avec v_{e} (M) = v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M .$

La vitesse d'entraînement $v_{e} (M)$ est la vitesse, dans $R$ , du point coïncident $P$ lié à $R^{'}$ : c'est la vitesse qu'aurait $M$ s'il était immobile dans $R^{'}$ .

Important

La vitesse d'entraînement dépend du point considéré (à travers $O^{'} M$ ) : c'est un champ de vecteurs, celui des vitesses du solide $R^{'}$ . En revanche, elle ne dépend pas du mouvement propre de $M$ : deux points matériels passant au même endroit au même instant ont la même vitesse d'entraînement.

1.3.2 Interprétation

Figure : Cas d'un référentiel

R^{'}

en rotation autour de l'axe fixe

$O^{'} z$ ( $O^{'}$ immobile dans $R$ ). La vitesse d'entraînement d'un point $M$ est orthoradiale, de norme $Ω r$ où $r$ est la distance à l'axe.</div>

Exemple 1.7Enfant sur un manège

Un manège tourne à $Ω = 0, 80 r a d . s^{- 1}$ . Un enfant assis à $r = 3, 0 m$ de l'axe est immobile dans le référentiel $R^{'}$ du manège : sa vitesse relative est nulle. Sa vitesse dans le référentiel du sol se réduit donc à la vitesse d'entraînement, orthoradiale, de norme

$v_{e} = Ω r = 0, 80 \times 3, 0 = 2, 4 m . s^{- 1} .$

1.4 Composition des accélérations

1.4.1 Loi de composition et accélération de Coriolis

On dérive à nouveau la loi de composition des vitesses dans $R$ . Le calcul, un peu plus long, fait intervenir deux fois la formule de Bour et fait apparaître un terme croisé caractéristique.

◆Théorème 1.8Composition des accélérations

$a_{a} (M) = a_{r} (M) + a_{e} (M) + a_{c} (M)$

avec l'accélération d'entraînement

$a_{e} (M) = a (O^{'}) + \frac{d Ω}{d t}_{R} \land O^{'} M + Ω \land (Ω \land O^{'} M),$

et l'accélération de Coriolis (ou accélération complémentaire)

$a_{c} (M) = 2 Ω \land v_{r} (M) .$

Démonstration (Démonstration)

On part de $v_{a} = v (O^{'}) + v_{r} + Ω \land O^{'} M$ et on dérive dans $R$ .

$∙$ $\frac{d v ( O ^{'} )}{d t}_{R} = a (O^{'})$ .

$∙$ Pour $v_{r}$ , la formule de Bour donne $\frac{d v _{r}}{d t}_{R} = \frac{d v _{r}}{d t}_{R^{'}} + Ω \land v_{r} = a_{r} + Ω \land v_{r}$ .

$∙$ Pour $Ω \land O^{'} M$ ,

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R},$

et, d'après la formule de Bour, $\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = v_{r} + Ω \land O^{'} M$ , d'où

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land v_{r} + Ω \land (Ω \land O^{'} M) .$

En sommant les trois contributions, les deux termes $Ω \land v_{r}$ s'additionnent pour donner $2 Ω \land v_{r}$ . On regroupe alors les termes indépendants de $v_{r}$ (accélération d'entraînement), le terme $a_{r}$ (relative) et le terme croisé (Coriolis).

ImportantStructure des trois termes

$a_{r}$ : accélération propre de $M$ dans $R^{'}$ .
$a_{e}$ : accélération, dans $R$ , du point coïncident $P$ fixe dans $R^{'}$ . Elle ne dépend pas de $v_{r}$ .
$a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ : n'existe que si $M$ bouge dans $R^{'}$ ( $v_{r} \neq = 0$ ) et si $R^{'}$ tourne ( $Ω \neq = 0$ ). Elle est toujours orthogonale à $v_{r}$ et à $Ω$ .

Attention

Contrairement à la vitesse, l'accélération ne se compose pas simplement en somme relative + entraînement : le terme de Coriolis $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ est irréductible dès que $R^{'}$ tourne. L'oublier est l'erreur la plus fréquente.

1.5 Cas particuliers importants

1.5.1 Référentiel en translation

Proposition 1.9Translation

Si $R^{'}$ est en translation par rapport à $R$ , ses axes gardent une direction fixe : $Ω = 0$ . Alors

$v_{e} = v (O^{'}), a_{e} = a (O^{'}), a_{c} = 0 .$

La vitesse et l'accélération d'entraînement sont uniformes (identiques en tout point), égales à celles de $O^{'}$ , et l'accélération de Coriolis est nulle.

iRemarque

Une translation n'est pas nécessairement rectiligne : l'origine $O^{'}$ peut décrire une courbe quelconque (translation circulaire, par exemple une nacelle de grande roue qui reste verticale). Ce qui la caractérise, c'est que les axes ne tournent pas : $Ω = 0$ .

Exemple 1.10Voyageur sur un tapis roulant

Un tapis roulant d'aéroport se déplace en translation rectiligne à $v (O^{'}) = V e_{x}$ avec $V = 1, 0 m . s^{- 1}$ . Un voyageur y marche à la vitesse relative $v_{r} = u e_{x}$ , $u = 1, 5 m . s^{- 1}$ . Sa vitesse absolue est

$v_{a} = (u + V) e_{x} = 2, 5 m . s^{- 1} e_{x} .$

S'il marche à vitesse constante, $a_{r} = 0$ ; le tapis étant uniforme, $a (O^{'}) = 0$ , donc $a_{a} = 0$ : aucune accélération de Coriolis puisque $Ω = 0$ .

Transformation de Galilée.

Lorsque $R^{'}$ est en translation rectiligne uniforme à la vitesse $v_{e} = V$ constante, on obtient la loi la plus simple :

$v_{a} = v_{r} + V, a_{a} = a_{r} .$

Deux référentiels en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre mesurent la même accélération : ils sont dynamiquement équivalents (si l'un est galiléen, l'autre l'est aussi). En intégrant, et en supposant le temps absolu ( $t^{'} = t$ ), on retrouve la transformation de Galilée

$r^{'} = r - V t, t^{'} = t,$

qui traduit, sur les positions, la simple relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ avec $O O^{'} = V t$ .

1.5.2 Référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe

C'est le cas le plus riche et le plus utile pour la dynamique non galiléenne. On suppose $O^{'} = O$ fixe, l'axe de rotation $O z$ fixe, et $Ω = Ω e_{z}$ constant ( $Ω ˙ = 0$ ).

Proposition 1.11Rotation uniforme

Avec $a (O^{'}) = 0$ et $Ω ˙ = 0$ , l'accélération d'entraînement se réduit au terme centripète :

$a_{e} = Ω \land (Ω \land O M) = - Ω^{2} H M,$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe de rotation. Elle est dirigée de $M$ vers l'axe (axipète), de norme $Ω^{2} r$ avec $r = H M$ . L'accélération de Coriolis vaut $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ .

Démonstration (Démonstration du terme centripète)

En notant $O M = O H + H M$ avec $O H$ parallèle à $Ω$ , on a $Ω \land O M = Ω \land H M$ (le terme axial disparaît). Puis $Ω \land (Ω \land H M)$ : par la formule du double produit vectoriel $a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ , avec $Ω \cdot H M = 0$ , il reste $- Ω^{2} H M$ .

Exemple 1.12Bille glissant sur un disque tournant

Un disque tourne à $Ω$ constant. Une bille glisse sans frottement le long d'une rainure radiale, à la vitesse relative $v_{r} = r ˙ e_{r}$ dirigée vers l'extérieur ( $r ˙ > 0$ ). Alors :

$a_{e} = - Ω^{2} r e_{r} (centrip e ˋ te), a_{c} = 2 Ω e_{z} \land r ˙ e_{r} = 2 Ω r ˙ e_{θ} (orthoradiale) .$

Coriolis dévie la trajectoire dans le sens opposé à la rotation vue de la bille : c'est ce qui incurve les trajectoires apparentes sur un plateau tournant.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Vocabulaire. $R$ absolu (« fixe »), $R^{'}$ relatif (mobile). Grandeurs relatives = dans $R^{'}$ , absolues = dans $R$ . Le point coïncident $P$ est fixe dans $R^{'}$ et superposé à $M$ à l'instant $t$ .

Vecteur rotation $Ω_{R^{'} / R}$ : direction = axe, norme = vitesse angulaire ( $r a d . s^{- 1}$ ).

Formule de Bour : $\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω \land A$ .

Composition des vitesses : $v_{a} = v_{r} + v_{e}$ , avec $v_{e} = v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M$ .

Composition des accélérations : $a_{a} = a_{r} + a_{e} + a_{c}$ , avec

$a_{e} = a (O^{'}) + Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land (Ω \land O^{'} M), a_{c} = 2 Ω \land v_{r} .$

Translation ( $Ω = 0$ ) : $v_{e} = v (O^{'})$ , $a_{e} = a (O^{'})$ , $a_{c} = 0$ . Cas rectiligne uniforme $\Rightarrow$ transformation de Galilée, $a_{a} = a_{r}$ .

Rotation uniforme autour d'un axe fixe : $a_{e} = - Ω^{2} H M$ (centripète, norme $Ω^{2} r$ ), $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ (orthogonale à $v_{r}$ et $Ω$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.13Point coïncident et vitesse d'entraînement

Un disque de centre $O$ tourne à $Ω = Ω e_{z}$ dans le référentiel du sol. Un point $M$ est fixé au disque à la distance $r$ de $O$ . Déterminer sa vitesse dans le référentiel du sol.

Démonstration

$M$ étant fixe dans $R^{'}$ (le disque), $v_{r} = 0$ . La vitesse absolue se réduit à la vitesse d'entraînement : $v_{a} = v_{e} = Ω \land O M = Ω e_{z} \land r e_{r} = Ω r e_{θ}$ . Elle est orthoradiale, de norme $Ω r$ , comme attendu pour un mouvement circulaire uniforme.

Exemple 1.14Marche radiale sur un manège

Un enfant marche radialement vers l'extérieur d'un manège tournant à $Ω$ constant, à la vitesse relative $v_{r} = v_{0} e_{r}$ ( $v_{0} > 0$ ). Exprimer sa vitesse et son accélération absolues à la distance $r$ de l'axe.

Démonstration

Vitesse : $v_{a} = v_{r} + v_{e} = v_{0} e_{r} + Ω r e_{θ}$ , de norme $v_{0}^{2} + Ω^{2} r^{2}$ .

Accélération : $a_{r} = \frac{d}{d t} (v_{0} e_{r})_{R^{'}} = 0$ (dans $R^{'}$ , $e_{r}$ est fixe et $v_{0}$ constant). D'où

$a_{a} = a_{e} - Ω^{2} r e_{r} + a_{c} 2Ω v_{0} e_{θ} .$

Le terme centripète tire vers l'axe, le terme de Coriolis pousse latéralement.

Exemple 1.15Chute dans un ascenseur

Un ascenseur monte avec l'accélération $a (O^{'}) = a_{0} e_{z}$ ( $a_{0} > 0$ ). Un passager lâche une bille sans vitesse relative initiale. Que vaut son accélération relative si, dans le sol, elle chute avec $a_{a} = - g e_{z}$ ?

Démonstration

L'ascenseur est en translation : $Ω = 0$ , donc $a_{c} = 0$ et $a_{e} = a (O^{'}) = a_{0} e_{z}$ . La composition donne $a_{r} = a_{a} - a_{e} = (- g - a_{0}) e_{z}$ . Pour le passager, la bille tombe avec une accélération de norme $g + a_{0}$ , plus grande que $g$ : l'ascenseur « accéléré vers le haut » alourdit la chute apparente.

Exemple 1.16Vitesse absolue d'une mouche dans un train

Un train roule en translation rectiligne à $V = V e_{x}$ ( $V = 30 m . s^{- 1}$ ). Une mouche vole dans le wagon à $v_{r} = - u e_{x} + w e_{y}$ avec $u = 2 m . s^{- 1}$ , $w = 1 m . s^{- 1}$ . Vitesse dans le sol ?

Démonstration

Translation rectiligne $\Rightarrow v_{e} = V$ . Donc $v_{a} = v_{r} + V = (V - u) e_{x} + w e_{y} = 28 e_{x} + 1 e_{y}$ (en $m . s^{- 1}$ ), de norme $2 8^{2} + 1^{2} \approx 28 m . s^{- 1}$ .

Exemple 1.17Direction de l'accélération de Coriolis

Dans l'hémisphère nord, $Ω$ a une composante verticale ascendante $Ω_{z} > 0$ . Un mobile se déplace horizontalement vers le nord à $v_{r}$ . Vers où pointe l'accélération de Coriolis horizontale ?

Démonstration

La composante horizontale de $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ due à $Ω_{z} e_{z}$ vaut $2 Ω_{z} e_{z} \land v_{r}$ . Pour $v_{r}$ dirigée vers le nord, $e_{z} \land v_{r}$ pointe vers l'est : le mobile est dévié vers l'est (sa droite). Toujours à droite du mouvement dans l'hémisphère nord.

Exemple 1.18Composition de deux rotations coaxiales

Un plateau tourne à $Ω_{1} e_{z}$ dans le sol ; un second plateau tourne à $Ω_{2} e_{z}$ par rapport au premier. Vecteur rotation du second plateau dans le sol ?

Démonstration

Les vecteurs rotation instantanés s'ajoutent (loi de composition des rotations via la formule de Bour appliquée en cascade) : $Ω_{2/ sol} = Ω_{2/1} + Ω_{1/ sol} = (Ω_{1} + Ω_{2}) e_{z}$ . Un point fixe du second plateau à la distance $r$ a donc la vitesse absolue $(Ω_{1} + Ω_{2}) r e_{θ}$ .

1.8 Exercices d'entraînement

Vitesse d'entraînement. Un référentiel $R^{'}$ tourne à $Ω = 2, 0 r a d . s^{- 1}$ autour d'un axe fixe. Calculer la vitesse d'entraînement d'un point situé à $50 c m$ de l'axe et fixe dans $R^{'}$ .

Point coïncident. Définir précisément le point coïncident et expliquer pourquoi la vitesse d'entraînement d'un point matériel $M$ ne dépend pas de son mouvement propre dans $R^{'}$ .

Formule de Bour. Un vecteur $A$ est fixe dans le sol. Montrer que sa dérivée dans un référentiel tournant à $Ω$ vaut $- Ω \land A$ .

Tapis roulant accéléré. Un tapis démarre : $v (O^{'}) = α t e_{x}$ . Un objet posé dessus est immobile dans $R^{'}$ . Donner sa vitesse et son accélération absolues.

Coriolis nul. Donner deux situations physiques distinctes dans lesquelles l'accélération de Coriolis est nulle bien que $M$ soit en mouvement.

Bille sur disque. Sur un disque tournant à $Ω$ constant, une bille suit une rainure radiale avec $r (t) = r_{0} e^{λ t}$ . Exprimer $a_{r}$ , $a_{e}$ et $a_{c}$ en fonction du temps.

Grande roue. Une nacelle de grande roue reste verticale (translation circulaire). Que vaut $Ω$ de la nacelle ? En déduire $a_{c}$ pour un passager qui se déplace dans la nacelle.

Manège et lancer. Un enfant sur un manège ( $Ω$ ) lance une balle radialement vers le centre à la vitesse relative $v_{0}$ . Décrire qualitativement, à l'aide de $a_{c}$ , la déviation apparente observée dans $R^{'}$ .

Norme de Coriolis. Un train roule à $40 m . s^{- 1}$ vers le nord à une latitude où $Ω_{z} = 5, 3 \times 1 0^{- 5} r a d . s^{- 1}$ . Estimer la norme de l'accélération de Coriolis horizontale et commenter son ordre de grandeur devant $g$ .

Transformation de Galilée. Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme relative $V$ . Montrer explicitement que l'accélération d'un point y est la même, et discuter du caractère absolu du temps supposé.

Double produit vectoriel. Retrouver l'expression $a_{e} = - Ω^{2} H M$ pour une rotation uniforme autour d'un axe fixe, en détaillant l'application de la formule du double produit vectoriel.

Vitesse relative à partir de l'absolue. Dans le sol, un point a la vitesse $v_{a}$ . Le référentiel $R^{'}$ tourne à $Ω$ autour de $O = O^{'}$ . Exprimer $v_{r}$ en fonction de $v_{a}$ , $Ω$ et $O M$ , et vérifier la cohérence pour un point fixe dans $R^{'}$ .

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