Dynamique dans un référentiel non galiléen

Le chapitre sur les changements de référentiel a établi leur cinématique : les lois de composition des vitesses et des accélérations relient le mouvement d'un point observé dans deux référentiels en mouvement relatif. Ces lois sont purement géométriques et ne présupposent aucune loi de la mécanique.

Or la deuxième loi de Newton, $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$, n'est valable que dans un référentiel galiléen. Dès que l'on souhaite décrire le mouvement d'un point matériel directement dans un référentiel accéléré (un train qui freine, un manège qui tourne, la Terre elle-même), la relation fondamentale de la dynamique doit être corrigée. On y parvient sans renoncer à la commodité du référentiel non galiléen : il suffit d'ajouter aux forces « vraies » deux termes homogènes à des forces, les forces d'inertie. Ces forces ne traduisent aucune interaction physique ; elles sont la trace, dans le référentiel choisi, de son mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

Ce chapitre montre comment adapter le principe fondamental de la dynamique, le théorème du moment cinétique et le théorème de l'énergie cinétique à un référentiel non galiléen, dans les deux cas au programme (translation quelconque et rotation uniforme autour d'un axe fixe). Il applique ensuite ces outils au référentiel terrestre, en supposant le référentiel géocentrique galiléen : champ de pesanteur, déviation vers l'est, pendule de Foucault ; les vents géostrophiques et les marées statiques sont traités en exercices résolus. Il se termine par l'équilibre d'un fluide dans un récipient accéléré ou tournant, où la force d'inertie d'entraînement devient une force volumique.

2.1 Le principe fondamental dans un référentiel non galiléen

2.1.1 Rappel : composition des accélérations

Soit $\mathcal{R}$ un référentiel galiléen et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ un référentiel en translation, ou en rotation uniforme autour d'un axe fixe, par rapport à $\mathcal{R}$. Pour un point matériel $M$, la loi de composition des accélérations établie au chapitre sur les changements de référentiel s'écrit

$${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}={\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M),$$

où ${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}$ est l'accélération absolue (dans $\mathcal{R}$), ${\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}$ l'accélération relative (dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$), ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$ l'accélération d'entraînement et ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}$ l'accélération de Coriolis, donnée par

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M)=2{\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}\wedge {\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }},$$

${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}$ désignant le vecteur rotation de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ par rapport à $\mathcal{R}$ : nul pour une translation, égal à $\Omega {\overrightarrow{e}}_z$, constant, pour une rotation uniforme autour de l'axe fixe $Oz$.

2.1.2 Forces d'inertie

Dans le référentiel galiléen $\mathcal{R}$, la deuxième loi de Newton donne $m{\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F}$, où $\overrightarrow{F}$ est la somme des forces réelles (interactions) subies par $M$. En reportant la composition des accélérations et en isolant l'accélération relative :

$$m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{F}-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M).$$

2.2 Cas d'un référentiel en translation

2.2.1 Force d'inertie d'entraînement

Supposons que ${\mathcal{R}}^{\prime }$, d'origine $O^{\prime }$, soit en translation (éventuellement accélérée) par rapport au référentiel galiléen $\mathcal{R}$. Alors le vecteur rotation est nul, ${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}$, ce qui entraîne deux simplifications majeures :

• l'accélération de Coriolis est nulle, ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0}$, donc ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=\overrightarrow{0}$ ;
• tous les points de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ ont la même accélération, égale à celle de $O^{\prime }$ : ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)={\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }/\mathcal{R}}$.

Figure : Pendule suspendu dans un véhicule en accélération. Pour l'observateur du véhicule

(non galiléen), la masse subit, outre son poids, la force d'inertie

${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$ dirigée vers l'arrière : le fil s'incline.

2.3 Cas d'un référentiel en rotation uniforme

2.3.1 Les deux forces d'inertie

Considérons maintenant un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en rotation uniforme à la vitesse angulaire constante $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ autour d'un axe fixe $\Delta$ (l'axe $Oz$) du référentiel galiléen $\mathcal{R}$, les deux référentiels ayant la même origine $O$ sur l'axe. L'accélération d'entraînement d'un point $M$ se réduit alors à sa composante centripète :

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)=-{\Omega }^2\overrightarrow{HM},$$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $\Delta$, de sorte que $\overrightarrow{HM}$ est le vecteur radial (perpendiculaire à l'axe) allant de l'axe vers $M$.

Figure : Manège en rotation uniforme, vu de dessus : l'axe $\Delta$ et le vecteur rotation

$\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ sont perpendiculaires au plan de la figure et pointent vers le lecteur ($\odot$). Pour un passager (référentiel tournant), un objet posé sur le plateau subit la force centrifuge ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ dirigée radialement vers

l'extérieur ; s'il se déplace, une force de Coriolis s'y ajoute.

2.3.2 Théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique de première année se transpose sans difficulté : dans le référentiel non galiléen, le moment cinétique ${\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{OM}\wedge m{\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}$ du point matériel, calculé en un point $O$ fixe de ${\mathcal{R}}^{\prime }$, obéit à

$${\left(\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}\right)}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}={\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O(\overrightarrow{F})+{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}})+{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}),$$

c'est-à-dire que les forces d'inertie contribuent au moment des forces comme n'importe quelle autre force. En effet, en dérivant ${\overrightarrow{L}}_O$ dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, où $O$ est fixe, ${\left(\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}\right)}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}={\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}\wedge m{\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+\overrightarrow{OM}\wedge m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{OM}\wedge (\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}})$ d'après le PFD non galiléen. On retiendra simplement d'ajouter les moments des forces d'inertie.

2.4 Aspects énergétiques

Les théorèmes énergétiques de première année s'appliquent eux aussi dans un référentiel non galiléen, en tenant compte des forces d'inertie.

2.4.1 Travail des forces d'inertie

Le théorème de l'énergie cinétique reste valable dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ à condition d'y inclure le travail des forces d'inertie :

$$\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}}^{{\mathcal{R}}^{\prime }}}{\mathrm{d}t}=\mathcal{P}(\overrightarrow{F})+\mathcal{P}({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}})+\mathcal{P}({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}),$$

où $E_{\mathrm{c}}^{{\mathcal{R}}^{\prime }}=\frac{1}{2}m{v}_{\mathrm{rel}}^2$ est l'énergie cinétique relative, et où les puissances sont calculées avec la vitesse relative, $\mathcal{P}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$. On l'obtient en multipliant scalairement le PFD non galiléen par ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$.

2.4.2 Énergie potentielle d'entraînement

2.5 Le référentiel terrestre

2.5.1 Une hiérarchie de référentiels

Trois référentiels sont classiquement introduits pour l'étude des mouvements terrestres :

• le référentiel héliocentrique (de Copernic), d'origine le centre du Soleil et d'axes pointant vers des étoiles lointaines ;
• le référentiel géocentrique, d'origine le centre de la Terre et d'axes parallèles à ceux de l'héliocentrique (il ne tourne pas avec la Terre) ;
• le référentiel terrestre (du laboratoire), lié à la surface de la Terre, qui tourne avec elle à la vitesse angulaire $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (un tour en un jour sidéral).

2.5.2 Champ de pesanteur

Un point matériel de masse $m$ au voisinage de la surface terrestre, dans le référentiel terrestre (supposé en rotation uniforme dans le géocentrique galiléen), subit l'attraction gravitationnelle $m\overrightarrow{\mathcal{G}}(M)$ (champ gravitationnel terrestre) et la force centrifuge $m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$. La force de Coriolis, qui dépend de la vitesse, n'intervient pas dans la définition statique du poids.

Figure : Champ de pesanteur à la latitude $\lambda$ : $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$. Le terme centrifuge (très exagéré ici, $0,35\%$ de $g$ au maximum)

est perpendiculaire à l'axe des pôles : la verticale locale, portée par $\overrightarrow{g}$, ne passe

pas exactement par le centre $O$, sauf aux pôles et à l'équateur.

2.5.3 Déviation vers l'est

Considérons la chute libre d'un point matériel lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h$, à la latitude $\lambda$. Dans le référentiel terrestre, en négligeant les frottements, le PFD s'écrit

$$m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{rel}}=m\overrightarrow{g}-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}.$$

La force de Coriolis, absente au démarrage (${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=\overrightarrow{0}$), apparaît dès que le corps acquiert une vitesse verticale.

Figure : Déviation vers l'est d'un corps en chute libre. La vitesse verticale vers le bas et

le vecteur rotation terrestre produisent une force de Coriolis dirigée vers l'est, qui écarte le point d'impact du pied de la verticale (déviation très exagérée :

$\delta \sim \mathrm{cm}$ pour $h\sim 100\mathrm{m}$).

Figure : Base locale au point $M$ de latitude $\lambda$ : ${\overrightarrow{e}}_x$ vers l'est (sortant de la

figure), ${\overrightarrow{e}}_y$ vers le nord, ${\overrightarrow{e}}_z$ selon la verticale ascendante. Le vecteur rotation terrestre s'y décompose en $\overrightarrow{\Omega }=\Omega (\cos \lambda {\overrightarrow{e}}_y+\sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z)$ : la composante verticale $\Omega \sin \lambda$ pilote le pendule de Foucault, la composante

horizontale $\Omega \cos \lambda$ la déviation vers l'est.

2.5.4 Aperçu : le pendule de Foucault

Figure : La Terre en rotation autour de l'axe des pôles. Au laboratoire de latitude

$\lambda$, la composante utile du vecteur rotation pour le pendule de Foucault est

$\Omega \sin \lambda$ (projection sur la verticale locale).

2.6 Capacité numérique

import numpy as np

# Parametres physiques
g      = 9.81            # champ de pesanteur (m/s^2)
Omega  = 7.29e-5         # vitesse angulaire de la Terre (rad/s)
lam    = np.radians(45)  # latitude
h      = 100.0           # hauteur de chute (m)

# Vecteur rotation dans la base locale (est, nord, haut)
Omega_vec = Omega * np.array([0.0, np.cos(lam), np.sin(lam)])
g_vec     = np.array([0.0, 0.0, -g])   # pesanteur selon la verticale descendante

# Integration d'Euler semi-implicite (v mise a jour, puis r avec la nouvelle v)
dt = 1e-4
r  = np.array([0.0, 0.0, h])   # position initiale (est, nord, haut)
v  = np.zeros(3)               # lache sans vitesse initiale
traj = [r.copy()]

while r[2] > 0.0:
    a = g_vec - 2.0 * np.cross(Omega_vec, v)   # PFD non galileen
    v = v + a * dt
    r = r + v * dt
    traj.append(r.copy())

traj = np.array(traj)
t_chute = np.sqrt(2 * h / g)
delta_num = traj[-1, 0]                          # deplacement vers l'est (m)
delta_ana = (1.0 / 3.0) * Omega * np.cos(lam) * np.sqrt(8 * h**3 / g)

print("Duree de chute      : %.3f s" % t_chute)
print("Deviation numerique : %.4f m (vers l'est)" % delta_num)
print("Deviation analytique: %.4f m" % delta_ana)

# Visualisation de la deviation est en fonction de l'altitude
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(traj[:, 0] * 100, traj[:, 2])          # x en cm, z en m
plt.xlabel("Deviation vers l'est (cm)")
plt.ylabel("Altitude (m)")
plt.title("Chute libre avec force de Coriolis (lat. 45 deg)")
plt.grid(True)
plt.show()

2.7 Équilibre d'un fluide dans un référentiel non galiléen

En première année, la statique des fluides a été établie dans un référentiel galiléen : une particule de fluide de volume $\mathrm{d}\tau$ subit la résultante des forces de pression $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P\mathrm{d}\tau$ et son poids $\rho \overrightarrow{g}\mathrm{d}\tau$, d'où $\overrightarrow{\mathrm{grad}}P=\rho \overrightarrow{g}$. Lorsque le récipient accélère ou tourne, il est commode d'étudier le fluide dans le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ du récipient, où il est au repos ; ce référentiel n'est pas galiléen.

2.7.1 Force d'inertie d'entraînement volumique

2.7.2 Statique des fluides dans un référentiel non galiléen