Description d'un fluide en mouvement

Cours · mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC), chapitre 3 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les lignes de courant d'un fluide qui contourne un obstacle cylindrique.

Un fluide — liquide ou gaz — est un milieu continu constitué d'un très grand nombre de particules qui se déplacent les unes par rapport aux autres. Décrire son mouvement ne peut se faire particule par particule : on introduit des champs (vitesse, masse volumique, pression) définis en tout point et à tout instant. Ce chapitre pose le vocabulaire cinématique de l'écoulement (champ des vitesses, lignes de courant, débit), établit la conservation locale de la masse, définit la dérivée particulaire qui donne l'accélération d'une particule de fluide, puis décrit les actions de contact — pression et viscosité — qui préparent l'équation de Navier--Stokes.

Dans tout le chapitre, le fluide est supposé newtonien et l'on note $ρ (M, t)$ sa masse volumique, $v (M, t)$ le champ des vitesses et $P (M, t)$ le champ de pression.

3.1 Description eulérienne d'un fluide en mouvement

3.1.1 Particule de fluide

Définition 3.1Particule de fluide

Une particule de fluide est un volume mésoscopique $d τ$ centré en un point $M$ : assez grand devant les distances intermoléculaires pour contenir un très grand nombre de molécules (grandeurs moyennes bien définies), assez petit devant l'échelle macroscopique pour être décrit par un point. On lui associe une masse volumique $ρ$ et une vitesse $v$ , moyenne des vitesses des molécules qui la composent.

3.1.2 Description eulérienne

On ne cherche pas à suivre chaque particule de fluide au cours du temps, comme le ferait un kayakiste emporté par le courant (ce point de vue, dit lagrangien, n'est pas utilisé ici). On se place au contraire en un point fixe $M$ de l'espace et l'on observe ce qui s'y passe à chaque instant : c'est le point de vue de l'observateur posté sur le pont d'un fleuve.

ImportantApproche eulérienne

Dans l'approche eulérienne, on associe à chaque point $M$ et à chaque instant $t$ la vitesse $v (M, t)$ de la particule de fluide qui passe en $M$ à l'instant $t$ : c'est le champ eulérien des vitesses. Attention : $v (M, t)$ n'est pas la vitesse d'une particule identifiée mais celle, changeante, de la particule présente en $M$ à l'instant $t$ .

3.1.3 Lignes de courant, tubes de courant

Définition 3.2Ligne de courant

Une ligne de courant à l'instant $t$ est une ligne de champ du champ des vitesses : une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur $v (M, t)$ à cet instant.

Définition 3.3Tube de courant

Un tube de courant est la surface engendrée par l'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé. Le fluide ne traverse pas la paroi latérale d'un tube de courant : il y « coule » comme dans une conduite virtuelle.

Capacité numérique : Tracer des lignes de courant

La recherche des lignes de courant se fait exclusivement à l'aide d'outils numériques. Le principe est celui du tracé d'une ligne de champ : partant d'un point $M_{0}$ , on avance d'un petit pas $d s$ dans la direction du vecteur unitaire $v (M) / v (M)$ , on recalcule $v$ au nouveau point, et ainsi de suite. Un programme complet est proposé dans les exercices résolus (écoulement autour d'un cylindre).

3.1.4 Écoulement stationnaire

Définition 3.4Écoulement stationnaire

Un écoulement est stationnaire (ou permanent) dans un référentiel donné si tous les champs y sont indépendants du temps :

$\frac{\partial v}{\partial t} = 0, \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0, \frac{\partial P}{\partial t} = 0.$

iRemarque

Le caractère stationnaire dépend du référentiel. L'écoulement autour d'un obstacle en mouvement uniforme est instationnaire dans le référentiel du laboratoire mais stationnaire dans le référentiel lié à l'obstacle. En régime stationnaire, les lignes de courant ne changent pas au cours du temps et chaque particule de fluide en suit une.

3.2 Débits et conservation de la masse

3.2.1 Vecteur densité de courant de masse

Définition 3.5Densité de courant de masse

Le vecteur densité de courant de masse est

$j = ρ v (kg / m^{2} / s) .$

Il caractérise localement le transport de masse : sa direction est celle de l'écoulement, sa norme le débit massique par unité de surface.

3.2.2 Débit massique, débit volumique

Définition 3.6Débits à travers une surface orientée

À travers une surface orientée $S$ de vecteur normal $n$ , on définit :

$d e ˊ bit massique d e ˊ bit volumique D_{m} = \iint_{S} ρ v \cdot d S (kg / s), D_{V} = \iint_{S} v \cdot d S (m^{3} / s) .$

Le débit massique est le flux de $j$ , le débit volumique le flux de $v$ . Ils sont reliés, pour un fluide de masse volumique uniforme, par $D_{m} = ρ D_{V}$ .

Proposition 3.7Cas d'une vitesse uniforme

Si $v$ est uniforme et normal à une section plane $S$ , alors

$D_{V} = v S, D_{m} = ρ v S .$

Exemple 3.8Ordre de grandeur

Dans une conduite de section $S = 2 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ où l'eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ ) circule à $v = 1, 5 m / s$ :

$D_{V} D_{m} = v S = 1, 5 \times 2 \cdot 1 0^{- 3} = 3 \times 1 0^{- 3} m^{3} / s = 3 L / s, = ρ D_{V} = 1000 \times 3 \cdot 1 0^{- 3} = 3 kg / s .$

3.2.3 Équation locale de conservation de la masse

Établissons l'équation locale dans le cas unidimensionnel cartésien, seul exigible. On considère une tranche fixe comprise entre les abscisses $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , dans un écoulement $v = v (x, t) e_{x}$ .

Démonstration (Bilan de masse à une dimension)

La masse contenue dans la tranche est $d m = ρ (x, t) S d x$ . Pendant $d t$ , elle varie de $\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t$ . Par conservation, cette variation est égale au bilan entrant $-$ sortant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t, j = ρ v .$

En divisant par $S d x d t$ et en passant à la limite :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial ( ρ v )}{\partial x} = 0.$

◆Théorème 3.9Équation locale de conservation de la masse

En géométrie quelconque, la conservation de la masse s'écrit

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0, div A = \frac{\partial A _{x}}{\partial x} + \frac{\partial A _{y}}{\partial y} + \frac{\partial A _{z}}{\partial z} en cart e ˊ siennes .$

C'est une généralisation admise du cas unidimensionnel : aucun terme source, la masse ne se crée ni ne se détruit.

3.2.4 Dérivée particulaire de la masse volumique

La masse volumique $ρ (M, t)$ mesurée en un point fixe n'est pas celle que « voit » une particule de fluide : la particule se déplace. Il faut donc distinguer la variation de $ρ$ en un point fixe de sa variation en suivant la particule.

Démonstration (Établissement de la dérivée particulaire de

ρ

)

La particule qui se trouve en $M (x, y, z)$ à l'instant $t$ se trouve, à l'instant $t + d t$ , en $M^{'}$ tel que $M M^{'} = v (M, t) d t$ , soit aux coordonnées $(x + v_{x} d t, y + v_{y} d t, z + v_{z} d t)$ . Sa masse volumique varie de

$d ρ = ρ (x + v_{x} d t, y + v_{y} d t, z + v_{z} d t, t + d t) - ρ (x, y, z, t) = \frac{\partial ρ}{\partial t} d t + (v_{x} \frac{\partial ρ}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial ρ}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial ρ}{\partial z}) d t$

au premier ordre en $d t$ . En divisant par $d t$ :

$\frac{D ρ}{D t} = \frac{\partial ρ}{\partial t} + v \cdot grad ρ .$

Le premier terme, $\frac{\partial ρ}{\partial t}$ , est le terme local (variation au point fixe) ; le second, $v \cdot grad ρ$ , est le terme convectif, dû au déplacement de la particule vers des régions où $ρ$ diffère.

3.2.5 Écoulement incompressible

Définition 3.10Écoulement incompressible

Un écoulement est incompressible si la masse volumique de chaque particule de fluide reste constante au cours de son mouvement :

$\frac{D ρ}{D t} = 0.$

Proposition 3.11Traduction locale

Pour un écoulement incompressible,

$div v = 0.$

Démonstration (Du bilan de masse à

div v = 0

)

On développe la divergence : $div (ρ v) = ρ div v + v \cdot grad ρ$ . L'équation de conservation devient

$D ρ / D t \frac{\partial ρ}{\partial t} + v \cdot grad ρ + ρ div v = 0.$

Or $\frac{D ρ}{D t} = 0$ pour un écoulement incompressible et $ρ \neq = 0$ , d'où $div v = 0$ .

iRemarque

Incompressible ne veut pas dire « de masse volumique uniforme » : un liquide stratifié (eau salée sous eau douce) peut s'écouler de façon incompressible alors que $ρ$ varie d'un point à l'autre. Un fluide homogène est un fluide dont la masse volumique est la même partout.

Proposition 3.12Conservation du débit dans un tube

Dans un écoulement stationnaire et incompressible, le débit volumique est le même à travers toute section d'un tube de courant : $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ . Le fluide accélère là où la section se rétrécit.

3.3 Dérivée particulaire et accélération

3.3.1 Dérivée particulaire d'un champ

Le raisonnement fait pour la masse volumique vaut pour tout champ porté par la particule : la grandeur qu'elle porte varie à la fois parce que le champ dépend du temps (terme local) et parce que la particule se déplace vers des régions où le champ diffère (terme convectif).

Définition 3.13Dérivée particulaire

La dérivée particulaire d'un champ scalaire $g (M, t)$ est la dérivée temporelle en suivant la particule de fluide :

$\frac{D g}{D t} = terme local \frac{\partial g}{\partial t} + terme convectif (v \cdot grad) g, (v \cdot grad) g = v_{x} \frac{\partial g}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial g}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial g}{\partial z} .$

ImportantAccélération d'une particule de fluide

Appliquée à chaque composante du champ des vitesses, la dérivée particulaire donne l'accélération de la particule qui passe en $M$ :

$a (M, t) = \frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v .$

Le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est non linéaire : c'est la source des difficultés de la mécanique des fluides.

Proposition 3.14Forme de Lamb

On admet la réécriture de l'accélération convective :

$(v \cdot grad) v = grad (\frac{v ^{2}}{2}) + (rot v) \land v .$

Cette forme fait apparaître le vecteur tourbillon $ω = rot v$ .

Définition 3.15Écoulement irrotationnel, potentiel des vitesses

Un écoulement est irrotationnel si $rot v = 0$ en tout point. Il existe alors un potentiel des vitesses $ϕ$ tel que $v = grad ϕ$ (comme un champ électrostatique dérive d'un potentiel). S'il est de plus incompressible, $div v = div (grad ϕ) = 0$ : $ϕ$ vérifie l'équation de Laplace $Δ ϕ = 0$ .

Exemple 3.16Écoulement stationnaire accéléré

Dans un rétrécissement, l'écoulement peut être stationnaire ( $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ ) et pourtant la particule accélère : c'est le terme convectif qui rend $a = (v \cdot grad) v \neq = 0$ . Une particule voit sa vitesse augmenter en avançant, sans que le champ change au cours du temps en un point fixe.

3.4 Actions de contact dans un fluide en mouvement

Sur une particule de fluide s'exercent des forces de volume (pesanteur) et des actions de contact exercées par le fluide environnant à travers la surface. On les décompose en une composante normale (pression) et une composante tangentielle (viscosité).

3.4.1 Forces de pression

Définition 3.17Force de pression

La force de pression exercée par le fluide extérieur sur un élément de surface orienté $d S$ (dirigé vers l'extérieur) est normale et dirigée vers l'intérieur :

$d F_{pression} = - P d S .$

Proposition 3.18Équivalent volumique des forces de pression

La résultante des forces de pression sur une particule de volume $d τ$ s'écrit comme une force volumique :

$d F_{pression} = - grad P d τ, soit une densit e ˊ volumique f_{P} = - grad P .$

Le fluide est poussé des hautes vers les basses pressions.

3.4.2 Viscosité : contraintes tangentielles

Dans un fluide réel en mouvement, des forces tangentielles apparaissent entre couches de vitesses différentes : c'est la viscosité, manifestation d'un transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes.

Définition 3.19Contrainte visqueuse, fluide newtonien

Pour un écoulement cisaillé $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la force tangentielle exercée par le fluide situé au-dessus ( $y$ croissant) sur la surface $d S$ du fluide situé en dessous est, pour un fluide newtonien,

$d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S e_{x} .$

La constante $η$ est la viscosité dynamique ( $Pa s$ ou $kg / m / s$ ). La contrainte tangentielle vaut $τ = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y}$ .

iRemarque

Ordres de grandeur à $20° C$ : eau $η \approx 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ , air $η \approx 1, 8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ , glycérine $η \approx 1 Pa s$ . On introduit aussi la viscosité cinématique $ν = η / ρ$ ( $m^{2} / s$ ).

3.4.3 Écoulement de Couette

Exemple 3.20Écoulement de Couette plan

Deux plaques planes horizontales distantes de $h$ ; la plaque inférieure est fixe, la supérieure animée de $v = V e_{x}$ . En régime stationnaire, le profil est linéaire (on l'établira à partir de l'équation de Navier-Stokes) :

$v_{x} (y) = \frac{V}{h} y .$

La contrainte est uniforme : $τ = η \frac{V}{h}$ . La force à exercer par unité de surface pour entraîner la plaque supérieure vaut $η V / h$ .

3.4.4 Écoulement de Poiseuille

Exemple 3.21Écoulement de Poiseuille

Dans une conduite, sous l'effet d'un gradient de pression, le profil des vitesses est parabolique : nul aux parois (condition d'adhérence), maximal au centre. Pour un écoulement entre deux plaques fixes distantes de $2 a$ , le plan médian étant pris en $y = 0$ :

$v_{x} (y) = v_{m a x} (1 - \frac{y ^{2}}{a ^{2}}) .$

La viscosité impose la condition d'adhérence $v = 0$ aux parois. Ce profil s'établit lui aussi à partir de l'équation de Navier-Stokes.

3.4.5 Équivalent volumique des forces de viscosité

Proposition 3.22Force volumique de viscosité

Dans un écoulement de cisaillement à une dimension $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la résultante des forces visqueuses par unité de volume vaut

$f_{visc} = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} e_{x} .$

On admet la généralisation à un écoulement incompressible quelconque :

$f_{visc} = η Δ v .$

Démonstration (Bilan sur une tranche cisaillée)

Sur une tranche d'épaisseur $d y$ et de surface $d S$ , le fluide situé au-dessus exerce sur la face $y + d y$ la force $η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y + d y) d S e_{x}$ ; le fluide situé en dessous exerce sur la face $y$ la force opposée de celle que la tranche exerce sur lui, soit $- η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y) d S e_{x}$ . La force visqueuse nette selon $e_{x}$ vaut donc

$d F_{x} = η [\frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y + d y) - \frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y)] d S = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} d y d S .$

En divisant par le volume $d τ = d y d S$ on obtient $f_{visc} = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}}$ .

3.5 Nombre de Reynolds

3.5.1 Définition

Définition 3.23Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds d'un écoulement de vitesse caractéristique $v$ et d'échelle spatiale $L$ est le nombre sans dimension

$R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{v L}{ν} .$

Il compare l'importance du terme convectif (inertie) au terme diffusif (viscosité).

Proposition 3.24Interprétation

En ordre de grandeur, le rapport du terme convectif sur le terme diffusif dans l'équation du mouvement vaut

$\frac{( v \cdot grad ) v}{ν Δ v} \sim \frac{v ^{2} / L}{ν v / L ^{2}} = \frac{v L}{ν} = R e .$

3.5.2 Régimes d'écoulement

ImportantLaminaire, turbulent

$R e ≪ 1$ : la viscosité domine, écoulement rampant très visqueux.
$R e$ modéré (jusqu'à $\sim 2000$ en conduite) : écoulement laminaire, lignes de courant régulières, filets qui glissent sans se mélanger.
$R e$ grand ( $≳ 4000$ en conduite) : écoulement turbulent, tourbillonnaire, chaotique, fort mélange.

La transition n'est pas universelle : elle dépend de la géométrie et des perturbations.

Exemple 3.25Calculs de Reynolds

Eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ , $η = 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ) dans un tuyau de diamètre $L = 2 cm$ à $v = 1 m / s$ :

$R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{1000 \times 1 \times 0 , 02}{1 0 ^{- 3}} = 2 \cdot 1 0^{4} .$

Écoulement turbulent. Pour une bactérie ( $L \sim 1 \times 1 0^{- 6} m$ , $v \sim 1 \times 1 0^{- 5} m / s$ ) : $R e \sim 1 0^{- 5}$ , monde « rampant » où l'inertie est négligeable.

3.5.3 Couche limite

Définition 3.26Couche limite

À grand nombre de Reynolds, la viscosité n'est efficace que dans une fine zone au contact des parois, la couche limite, où la vitesse passe de $0$ (paroi, condition d'adhérence) à la valeur de l'écoulement extérieur. Loin des parois l'écoulement peut être traité comme parfait (viscosité négligée). La couche limite est le siège de la traînée visqueuse.

3.5.4 Traînée d'une sphère : coefficient de traînée

Une sphère solide de rayon $R$ (diamètre $D = 2 R$ ) en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse $v$ dans un fluide newtonien au repos subit une force de traînée $F$ , opposée à $v$ . On l'écrit sous une forme qui définit le coefficient sans dimension $C_{x}$ :

Définition 3.27Coefficient de traînée

$F = \frac{1}{2} ρ v^{2} S C_{x}, S = π R^{2} (ma ı ˆ tre-couple, section apparente) .$

L'analyse dimensionnelle montre que $C_{x}$ ne dépend que du nombre de Reynolds $R e = \frac{ρ v D}{η}$ : la courbe expérimentale $C_{x} (R e)$ ci-dessous vaut pour toutes les sphères lisses, dans tous les fluides newtoniens.

ImportantChoisir un modèle de traînée

$R e ≲ 1$ : $C_{x} = \frac{24}{R e}$ , soit $F = \frac{1}{2} ρ v^{2} π R^{2} \frac{24 η}{ρ v 2 R} = 6 π η R v$ : traînée linéaire (loi de Stokes, $F = - 6 π η R v$ ) ;
$1 0^{3} ≲ R e ≲ 2 \cdot 1 0^{5}$ : $C_{x}$ presque constant, $C_{x} \approx 0, 4$ à $0, 5$ : traînée quadratique $F \approx \frac{1}{2} ρ v^{2} S C_{x}$ ;
entre les deux, aucun des deux modèles n'est exact : on lit $C_{x}$ sur le graphe ; au-delà de $R e \approx 3 \cdot 1 0^{5}$ , la couche limite devient turbulente et $C_{x}$ chute (crise de traînée).

Méthode : on suppose un modèle, on calcule la vitesse, puis on vérifie que le nombre de Reynolds obtenu est dans le domaine du modèle.

3.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Description eulérienne : champ $v (M, t)$ au point fixe $M$ ; ligne de courant tangente à $v$ , tracée numériquement ; tube de courant imperméable ; stationnaire si $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ (dépend du référentiel).
Débits : $D_{V} = \iint v \cdot d S$ , $D_{m} = \iint ρ v \cdot d S$ ; vitesse uniforme : $D_{V} = v S$ , $D_{m} = ρ v S$ .
Conservation de la masse : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ (établie en 1D). Dérivée particulaire de $ρ$ : $\frac{D ρ}{D t} = \frac{\partial ρ}{\partial t} + v \cdot grad ρ$ . Incompressible : $\frac{D ρ}{D t} = 0 \Leftrightarrow div v = 0$ , d'où $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ .
Accélération $a = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v$ , avec $(v \cdot grad) v = grad (v^{2} /2) + (rot v) \land v$ . Irrotationnel : $rot v = 0$ , $v = grad ϕ$ .
Pression : $d F = - P d S$ , équivalent volumique $- grad P$ . Viscosité (newtonien) : $d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S e_{x}$ , équivalent volumique $η Δ v$ ; Couette (linéaire), Poiseuille (parabolique).
Reynolds $R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{v L}{ν}$ : convectif/diffusif. Laminaire ( $R e$ petit) / turbulent ( $R e$ grand) ; couche limite près des parois à grand $R e$ .
Traînée d'une sphère : $F = \frac{1}{2} ρ v^{2} π R^{2} C_{x} (R e)$ ; linéaire (Stokes) si $R e ≲ 1$ , quadratique ( $C_{x} \approx 0, 4$ ) si $1 0^{3} ≲ R e ≲ 2 \cdot 1 0^{5}$ .

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