Description d'un fluide en mouvement

Cours complet · mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC), chapitre 3 · CPGE PC (2e année)

Un fluide — liquide ou gaz — est un milieu continu constitué d'un très grand nombre de particules qui se déplacent les unes par rapport aux autres. Décrire son mouvement ne peut se faire particule par particule : on introduit des champs (vitesse, masse volumique, pression) définis en tout point et à tout instant. Ce chapitre pose le vocabulaire cinématique de l'écoulement (champ des vitesses, lignes de courant, débit), établit la conservation locale de la masse, définit la dérivée particulaire qui donne l'accélération d'une particule de fluide, puis décrit les actions de contact — pression et viscosité — qui préparent l'équation de Navier--Stokes.

Dans tout le chapitre, le fluide est supposé newtonien et l'on note $ρ (M, t)$ sa masse volumique, $v (M, t)$ le champ des vitesses et $P (M, t)$ le champ de pression.

3.1 Les deux descriptions du mouvement d'un fluide

3.1.1 Particule de fluide

Définition 3.1Particule de fluide

Une particule de fluide est un volume mésoscopique $d τ$ centré en un point $M$ : assez grand devant les distances intermoléculaires pour contenir un très grand nombre de molécules (grandeurs moyennes bien définies), assez petit devant l'échelle macroscopique pour être décrit par un point. On lui associe une masse volumique $ρ$ et une vitesse $v$ , moyenne des vitesses des molécules qui la composent.

3.1.2 Description lagrangienne et description eulérienne

Deux points de vue coexistent pour décrire l'écoulement.

Description lagrangienne : on suit chaque particule de fluide au cours du temps, comme on suivrait un point matériel. La position d'une particule est $r (t)$ ; c'est le point de vue du kayakiste emporté par le courant.
Description eulérienne : on se place en un point fixe $M$ de l'espace et on observe ce qui s'y passe à chaque instant. C'est le point de vue de l'observateur sur le pont d'un fleuve. On travaille avec le champ eulérien des vitesses $v (M, t)$ .

ImportantApproche eulérienne

En classe on privilégie l'approche eulérienne : à chaque point $M$ et à chaque instant $t$ on associe la vitesse $v (M, t)$ de la particule de fluide qui passe en $M$ à l'instant $t$ . Attention : $v (M, t)$ n'est pas la vitesse d'une particule identifiée mais celle, changeante, de la particule présente en $M$ à l'instant $t$ .

3.1.3 Lignes de courant, tubes de courant

Définition 3.2Ligne de courant

Une ligne de courant à l'instant $t$ est une courbe tangente en chacun de ses points au champ des vitesses $v (M, t)$ à cet instant. Elle vérifie $d ℓ \land v = 0$ , soit en cartésiennes

$\frac{d x}{v _{x}} = \frac{d y}{v _{y}} = \frac{d z}{v _{z}} .$

Définition 3.3Tube de courant

Un tube de courant est la surface engendrée par l'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé. Le fluide ne traverse pas la paroi latérale d'un tube de courant : il y « coule » comme dans une conduite virtuelle.

3.1.4 Écoulement stationnaire

Définition 3.4Écoulement stationnaire

Un écoulement est stationnaire (ou permanent) dans un référentiel donné si tous les champs y sont indépendants du temps :

$\frac{\partial v}{\partial t} = 0, \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0, \frac{\partial P}{\partial t} = 0.$

iRemarque

Le caractère stationnaire dépend du référentiel. L'écoulement autour d'un obstacle en mouvement uniforme est instationnaire dans le référentiel du laboratoire mais stationnaire dans le référentiel lié à l'obstacle. En régime stationnaire, lignes de courant et trajectoires des particules coïncident.

3.2 Débits et conservation de la masse

3.2.1 Vecteur densité de courant de masse

Définition 3.5Densité de courant de masse

Le vecteur densité de courant de masse est

$j = ρ v (kg / □ m / s) .$

Il caractérise localement le transport de masse : sa direction est celle de l'écoulement, sa norme le débit massique par unité de surface.

3.2.2 Débit massique, débit volumique

Définition 3.6Débits à travers une surface orientée

À travers une surface orientée $S$ de vecteur normal $n$ , on définit :

$d e ˊ bit massique D_{m} = \iint_{S} ρ v \cdot d S (kg / s), d e ˊ bit volumique D_{V} = \iint_{S} v \cdot d S (m^{3} / s) .$

Ils sont reliés, pour un fluide de masse volumique uniforme, par $D_{m} = ρ D_{V}$ .

Proposition 3.7Cas d'une vitesse uniforme

Si $v$ est uniforme et normal à une section plane $S$ , alors

$D_{V} = v S, D_{m} = ρ v S .$

Exemple 3.8Ordre de grandeur

Dans une conduite de section $S = 2 \times 1 0^{- 3} □ m$ où l'eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ ) circule à $v = 1, 5 m / s$ :

$D_{V} = v S = 1, 5 \times 2 \cdot 1 0^{- 3} = 3 \times 1 0^{- 3} m^{3} / s = 3 L / s, D_{m} = ρ D_{V} = 1000 \times 3 \cdot 1 0^{- 3} = 3 kg / s .$

3.2.3 Équation locale de conservation de la masse

Établissons l'équation locale dans le cas unidimensionnel cartésien, seul exigible. On considère une tranche fixe comprise entre les abscisses $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , dans un écoulement $v = v (x, t) e_{x}$ .

Démonstration (Bilan de masse à une dimension)

La masse contenue dans la tranche est $d m = ρ (x, t) S d x$ . Pendant $d t$ , elle varie de $\frac{\partial ( ρS d x )}{\partial t} d t$ . Par conservation, cette variation est égale au bilan entrant $-$ sortant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t, j = ρ v .$

En divisant par $S d x d t$ et en passant à la limite :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial ( ρ v )}{\partial x} = 0.$

◆Théorème 3.9Équation locale de conservation de la masse

En géométrie quelconque, la conservation de la masse s'écrit

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0.$

C'est une généralisation admise du cas unidimensionnel : aucun terme source, la masse ne se crée ni ne se détruit.

3.2.4 Écoulement incompressible

Définition 3.10Écoulement incompressible

Un écoulement est incompressible si la masse volumique d'une particule de fluide reste constante au cours de son mouvement : $\frac{D ρ}{D t} = 0$ (dérivée particulaire nulle, voir section suivante).

Proposition 3.11Traduction locale

Pour un écoulement incompressible,

$div v = 0.$

Démonstration (Du bilan de masse à

div v = 0

)

On développe la divergence : $div (ρ v) = ρ div v + v \cdot grad ρ$ . L'équation de conservation devient

$D ρ / D t \frac{\partial ρ}{\partial t} + v \cdot grad ρ + ρ div v = 0.$

Or $D ρ / D t = 0$ pour un écoulement incompressible et $ρ \neq = 0$ , d'où $div v = 0$ .

Proposition 3.12Conservation du débit dans un tube

Dans un écoulement stationnaire et incompressible, le débit volumique est le même à travers toute section d'un tube de courant : $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ . Le fluide accélère là où la section se rétrécit.

3.3 Dérivée particulaire et accélération

3.3.1 Dérivée particulaire d'un champ

Une particule de fluide voit sa position évoluer : la grandeur qu'elle porte varie à la fois parce que le champ dépend du temps (terme local) et parce que la particule se déplace vers des régions où le champ diffère (terme convectif).

Définition 3.13Dérivée particulaire

La dérivée particulaire d'un champ scalaire $g (M, t)$ est la dérivée temporelle en suivant la particule de fluide :

$\frac{D g}{D t} = terme local \frac{\partial g}{\partial t} + terme convectif (v \cdot grad) g .$

ImportantAccélération d'une particule de fluide

Appliquée au champ des vitesses, la dérivée particulaire donne l'accélération de la particule qui passe en $M$ :

$a (M, t) = \frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v .$

Le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est non linéaire : c'est la source des difficultés de la mécanique des fluides.

Proposition 3.14Forme de Lamb

On admet la réécriture de l'accélération convective :

$(v \cdot grad) v = grad (\frac{v ^{2}}{2}) + (rot v) \land v .$

Cette forme fait apparaître le vecteur tourbillon $ω = rot v$ .

Définition 3.15Écoulement irrotationnel, potentiel des vitesses

Un écoulement est irrotationnel si $rot v = 0$ en tout point. Il existe alors un potentiel des vitesses $ϕ$ tel que $v = grad ϕ$ . S'il est de plus incompressible, $ϕ$ vérifie l'équation de Laplace $Δ ϕ = 0$ .

Exemple 3.16Écoulement stationnaire accéléré

Dans un rétrécissement, l'écoulement peut être stationnaire ( $\partial v / \partial t = 0$ ) et pourtant la particule accélère : c'est le terme convectif qui rend $a = (v \cdot grad) v \neq = 0$ . Une particule voit sa vitesse augmenter en avançant, sans que le champ change au cours du temps en un point fixe.

3.4 Actions de contact dans un fluide en mouvement

Sur une particule de fluide s'exercent des forces de volume (pesanteur) et des actions de contact exercées par le fluide environnant à travers la surface. On les décompose en une composante normale (pression) et une composante tangentielle (viscosité).

3.4.1 Forces de pression

Définition 3.17Force de pression

La force de pression exercée par le fluide extérieur sur un élément de surface orienté $d S$ (dirigé vers l'extérieur) est normale et dirigée vers l'intérieur :

$d F_{pression} = - P d S .$

Proposition 3.18Équivalent volumique des forces de pression

La résultante des forces de pression sur une particule de volume $d τ$ s'écrit comme une force volumique :

$d F_{pression} = - grad P d τ, soit une densit e ˊ volumique f_{P} = - grad P .$

Le fluide est poussé des hautes vers les basses pressions.

3.4.2 Viscosité : contraintes tangentielles

Dans un fluide réel en mouvement, des forces tangentielles apparaissent entre couches de vitesses différentes : c'est la viscosité, manifestation d'un transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes.

Définition 3.19Contrainte visqueuse, fluide newtonien

Pour un écoulement cisaillé $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la force tangentielle exercée par le fluide situé au-dessus ( $y$ croissant) sur la surface $d S$ du fluide situé en dessous est, pour un fluide newtonien,

$d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S e_{x} .$

La constante $η$ est la viscosité dynamique ( $Pa s$ ou $kg / m / s$ ). La contrainte tangentielle vaut $τ = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y}$ .

iRemarque

Ordres de grandeur à $20° C$ : eau $η \approx 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ , air $η \approx 1, 8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ , glycérine $η \approx 1 Pa s$ . On introduit aussi la viscosité cinématique $ν = η / ρ$ ( $□ m / s$ ).

3.4.3 Écoulement de Couette

Exemple 3.20Écoulement de Couette plan

Deux plaques planes horizontales distantes de $h$ ; la plaque inférieure est fixe, la supérieure animée de $v = V e_{x}$ . En régime stationnaire, le profil est linéaire :

$v_{x} (y) = \frac{V}{h} y .$

La contrainte est uniforme : $τ = η \frac{V}{h}$ . La force à exercer par unité de surface pour entraîner la plaque supérieure vaut $η V / h$ .

3.4.4 Écoulement de Poiseuille

Exemple 3.21Écoulement de Poiseuille

Dans une conduite, sous l'effet d'un gradient de pression, le profil des vitesses est parabolique : nul aux parois (condition d'adhérence), maximal au centre. Pour un écoulement entre deux plaques fixes distantes de $2 a$ :

$v_{x} (y) = v_{m a x} (1 - \frac{y ^{2}}{a ^{2}}) .$

La viscosité impose la condition d'adhérence $v = 0$ aux parois.

3.4.5 Équivalent volumique des forces de viscosité

Proposition 3.22Force volumique de viscosité

Dans un écoulement de cisaillement à une dimension $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la résultante des forces visqueuses par unité de volume vaut

$f_{visc} = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} e_{x} .$

On admet la généralisation à un écoulement incompressible quelconque :

$f_{visc} = η Δ v .$

Démonstration (Bilan sur une tranche cisaillée)

Sur une tranche d'épaisseur $d y$ et de surface $d S$ , la force visqueuse nette selon $e_{x}$ est la différence des contraintes sur les faces $y + d y$ et $y$ :

$d F_{x} = η [\frac{\partial v _{x}}{\partial y}_{y + d y} - \frac{\partial v _{x}}{\partial y}_{y}] d S = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} d y d S .$

En divisant par le volume $d τ = d y d S$ on obtient $f_{visc} = η \partial^{2} v_{x} / \partial y^{2}$ .

3.5 Nombre de Reynolds

3.5.1 Définition

Définition 3.23Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds d'un écoulement de vitesse caractéristique $v$ et d'échelle spatiale $L$ est le nombre sans dimension

$R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{v L}{ν} .$

Il compare l'importance du terme convectif (inertie) au terme diffusif (viscosité).

Proposition 3.24Interprétation

En ordre de grandeur, le rapport du terme convectif sur le terme diffusif dans l'équation du mouvement vaut

$\frac{( v \cdot grad ) v}{ν Δ v} \sim \frac{v ^{2} / L}{ν v / L ^{2}} = \frac{v L}{ν} = R e .$

3.5.2 Régimes d'écoulement

ImportantLaminaire, turbulent

$R e ≪ 1$ : la viscosité domine, écoulement rampant très visqueux.
$R e$ modéré (jusqu'à $\sim 2000$ en conduite) : écoulement laminaire, lignes de courant régulières, filets qui glissent sans se mélanger.
$R e$ grand ( $≳ 4000$ en conduite) : écoulement turbulent, tourbillonnaire, chaotique, fort mélange.

La transition n'est pas universelle : elle dépend de la géométrie et des perturbations.

Exemple 3.25Calculs de Reynolds

Eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ , $η = 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ) dans un tuyau de diamètre $L = 2 cm$ à $v = 1 m / s$ :

$R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{1000 \times 1 \times 0 , 02}{1 0 ^{- 3}} = 2 \cdot 1 0^{4} .$

Écoulement turbulent. Pour une bactérie ( $L \sim 1 \times 1 0^{- 6} m$ , $v \sim 1 \times 1 0^{- 5} m / s$ ) : $R e \sim 1 0^{- 5}$ , monde « rampant » où l'inertie est négligeable.

3.5.3 Couche limite

Définition 3.26Couche limite

À grand nombre de Reynolds, la viscosité n'est efficace que dans une fine zone au contact des parois, la couche limite, où la vitesse passe de $0$ (paroi, condition d'adhérence) à la valeur de l'écoulement extérieur. Loin des parois l'écoulement peut être traité comme parfait (viscosité négligée). La couche limite est le siège de la traînée visqueuse.

iRemarqueTraînée d'une sphère

Pour une sphère en mouvement rectiligne uniforme, le nombre de Reynolds $R e = ρ v D / η$ (avec $D$ le diamètre) permet de choisir le modèle de traînée : à faible $R e$ , traînée linéaire (loi de Stokes $F = - 6 π η R v$ ) ; à grand $R e$ , traînée quadratique $F = \frac{1}{2} ρ v^{2} S C_{x}$ . Le coefficient $C_{x}$ se lit sur son graphe en fonction de $R e$ .

3.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Description eulérienne : champ $v (M, t)$ au point fixe $M$ ; ligne de courant tangente à $v$ ( $d ℓ \land v = 0$ ) ; tube de courant imperméable ; stationnaire si $\partial / \partial t = 0$ (dépend du référentiel).
Débits : $D_{V} = \iint v \cdot d S$ , $D_{m} = \iint ρ v \cdot d S$ ; vitesse uniforme : $D_{V} = v S$ , $D_{m} = ρ v S$ .
Conservation de la masse : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ . Incompressible : $\frac{D ρ}{D t} = 0 \Leftrightarrow div v = 0$ , d'où $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ .
Dérivée particulaire : $\frac{D g}{D t} = \frac{\partial g}{\partial t} + (v \cdot grad) g$ ; accélération $a = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v$ , avec $(v \cdot grad) v = grad (v^{2} /2) + (rot v) \land v$ .
Pression : $d F = - P d S$ , équivalent volumique $- grad P$ . Viscosité (newtonien) : $d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S e_{x}$ , équivalent volumique $η Δ v$ ; Couette (linéaire), Poiseuille (parabolique).
Reynolds $R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{v L}{ν}$ : convectif/diffusif. Laminaire ( $R e$ petit) / turbulent ( $R e$ grand) ; couche limite près des parois à grand $R e$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.7 Exercices résolus

Exemple 3.27Champ des vitesses et lignes de courant

Soit l'écoulement stationnaire plan $v = a x e_{x} - a y e_{y}$ ( $a > 0$ ). Déterminer les lignes de courant et vérifier l'incompressibilité.

Démonstration

L'équation des lignes de courant est $\frac{d x}{a x} = \frac{d y}{- a y}$ , soit $\frac{d x}{x} = - \frac{d y}{y}$ . En intégrant : $ln ∣ x ∣ = - ln ∣ y ∣ + C$ , d'où $x y = cte$ : les lignes de courant sont des hyperboles (écoulement de stagnation). La divergence vaut $div v = \frac{\partial ( a x )}{\partial x} + \frac{\partial ( - a y )}{\partial y} = a - a = 0$ : l'écoulement est bien incompressible.

Exemple 3.28Accélération dans un rétrécissement

Un écoulement stationnaire le long d'un axe a pour vitesse $v = v (x) e_{x}$ avec $v (x) = v_{0} (1 + x / L)$ . Calculer l'accélération d'une particule.

Démonstration

L'écoulement est stationnaire donc $\partial v / \partial t = 0$ . Reste le terme convectif :

$a = (v \cdot grad) v = v \frac{d v}{d x} e_{x} = v_{0} (1 + \frac{x}{L}) \cdot \frac{v _{0}}{L} e_{x} = \frac{v _{0}^{2}}{L} (1 + \frac{x}{L}) e_{x} .$

L'accélération est non nulle bien que l'écoulement soit stationnaire : c'est l'effet convectif.

Exemple 3.29Conservation du débit

De l'eau incompressible passe d'une conduite de diamètre $D_{1} = 10 cm$ où $v_{1} = 2 m / s$ à une conduite de diamètre $D_{2} = 5 cm$ . Calculer $v_{2}$ et le débit.

Démonstration

Le débit se conserve : $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ avec $S = π D^{2} /4$ . Donc

$v_{2} = v_{1} \frac{S _{1}}{S _{2}} = v_{1} (\frac{D _{1}}{D _{2}})^{2} = 2 \times 2^{2} = 8 m / s .$

Le débit volumique vaut $D_{V} = v_{1} S_{1} = 2 \times π (0, 05)^{2} \approx 1, 57 \times 1 0^{- 2} m^{3} / s \approx 15, 7 L / s$ .

Exemple 3.30Écoulement de Couette : force d'entraînement

De la glycérine ( $η = 1 Pa s$ ) remplit l'espace $h = 2 mm$ entre deux plaques de surface $S = 0, 1 □ m$ . La plaque supérieure se déplace à $V = 0, 5 m / s$ . Calculer la force à exercer.

Démonstration

Le profil est linéaire, la contrainte uniforme $τ = η V / h$ . La force vaut

$F = τ S = η \frac{V}{h} S = 1 \times \frac{0 , 5}{2 \cdot 1 0 ^{- 3}} \times 0, 1 = 25 N .$

Exemple 3.31Nombre de Reynolds et régime

De l'air ( $ρ = 1, 2 kg / m^{3}$ , $η = 1, 8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ ) s'écoule à $v = 15 m / s$ autour d'un câble de diamètre $L = 1 cm$ . Régime ?

Démonstration

$R e = \frac{ρ v L}{η} = \frac{1 , 2 \times 15 \times 0 , 01}{1 , 8 \cdot 1 0 ^{- 5}} = \frac{0 , 18}{1 , 8 \cdot 1 0 ^{- 5}} = 1, 0 \cdot 1 0^{4} .$

$R e \sim 1 0^{4} ≫ 2000$ : l'écoulement est turbulent, avec sillage tourbillonnaire derrière le câble.

Exemple 3.32Divergence et incompressibilité

Un champ proposé est $v = (k y) e_{x} + (k x) e_{y}$ . Cet écoulement est-il incompressible ? irrotationnel ?

Démonstration

Divergence : $div v = \frac{\partial ( k y )}{\partial x} + \frac{\partial ( k x )}{\partial y} = 0$ : incompressible. Rotationnel (composante $z$ ) : $\frac{\partial v _{y}}{\partial x} - \frac{\partial v _{x}}{\partial y} = k - k = 0$ : irrotationnel. Il existe donc un potentiel $ϕ = k x y$ tel que $v = grad ϕ$ , et $Δ ϕ = 0$ .

Exemple 3.33Dérivée particulaire de la masse volumique

Dans un écoulement $v = v_{0} e_{x}$ (uniforme) où $ρ (x, t) = ρ_{0} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ , calculer $D ρ / D t$ . Conclusion ?

Démonstration

Terme local : $\frac{\partial ρ}{\partial t} = ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ . Terme convectif : $v \cdot grad ρ = v_{0} \frac{\partial ρ}{\partial x} = - ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ . La somme est nulle : $D ρ / D t = 0$ . Chaque particule conserve sa masse volumique (le profil est simplement convecté à la vitesse $v_{0}$ ) : l'écoulement est incompressible bien que $ρ$ ne soit pas uniforme.

3.8 Exercices d'entraînement

Débit et vitesse. Une conduite de diamètre $8 cm$ transporte $D_{V} = 10 L / s$ d'eau. Calculer la vitesse moyenne et le débit massique.

Lignes de courant. Pour $v = v_{0} e_{x} + α t e_{y}$ (uniforme mais instationnaire), déterminer les lignes de courant à un instant $t$ fixé et commenter leur dépendance au temps.

Incompressibilité. Le champ $v = (a x^{2}) e_{x} + (b x y) e_{y}$ est-il incompressible ? Trouver la relation entre $a$ et $b$ .

Rétrécissement. De l'eau passe de $D_{1} = 20 cm$ ( $v_{1} = 1 m / s$ ) à $D_{2} = 8 cm$ . Calculer $v_{2}$ .

Accélération convective. Pour $v = v_{0} (1 + x / L) e_{x}$ stationnaire, tracer l'allure de $a (x)$ et donner l'accélération en $x = L$ .

Forme de Lamb. Vérifier sur $v = ω (- y e_{x} + x e_{y})$ (rotation solide) que $(v \cdot grad) v = - ω^{2} r$ et retrouver l'accélération centripète.

Couette. Deux plaques distantes de $1 mm$ , huile $η = 0, 1 Pa s$ , plaque supérieure à $0, 2 m / s$ . Calculer la contrainte et la force par $□ m$ .

Poiseuille. Pour $v_{x} (y) = v_{m a x} (1 - y^{2} / a^{2})$ , calculer le débit volumique par unité de largeur $\int_{- a}^{a} v_{x} d y$ et la vitesse moyenne.

Reynolds — sang. Sang $ρ = 1060 kg / m^{3}$ , $η = 4 \times 1 0^{- 3} Pa s$ , aorte $L = 2, 5 cm$ , $v = 0, 3 m / s$ . Calculer $R e$ et conclure sur le régime.

Reynolds — microorganisme. Une bactérie ( $L = 2 μ m$ , $v = 20 μ m / s$ ) dans l'eau ( $ν = 1 \times 1 0^{- 6} □ m / s$ ). Calculer $R e$ et interpréter.

Force volumique de viscosité. Pour un profil de Poiseuille $v_{x} (y) = v_{m a x} (1 - y^{2} / a^{2})$ , calculer $η \partial^{2} v_{x} / \partial y^{2}$ et montrer qu'elle équilibre un gradient de pression constant.

Potentiel des vitesses. Montrer que $v = grad ϕ$ avec $ϕ = C ln r$ (en polaires, écoulement source bidimensionnel) est irrotationnel, et relier $C$ au débit linéique à travers un cercle de rayon $r$ .

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